高等数学——泰勒公式

作者：追风剑情发布于：2022-6-17 9:46 分类：Algorithms

两个函数在给定点x0处的值相等，表示这两个函数在x0处相交。若这两个函数在x0处的一阶导数也相等，表示这两个函数在x0处相切。若这两个函数在x0处的二阶导数也相等，表示这两个函数在x0处的弯曲方向相同。由此可知，更高阶的导数在x0处相等，表示从x0处开始这两个函数的拟合度越高。

泰勒公式的几何意义

使用多项式函数在给定函数的某点展开，逼近给定函数。可用泰勒公式求给定函数某点附近的近似值。

泰勒公式的定义

如果函数f(x)在含x₀的某个区间(a, b)内具有直到(n+1)阶导数，则对$\forall\in(a,b)$，有

$$ f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \cdots + \frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) $$ 其中余项(误差) $$ R_n{(x)}=\frac{f^{n+1}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$ ξ在x₀与x之间。泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表示方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差。

泰勒展开式

将近似公式的一般化公式称为泰勒展开式。例如，在两个变量的情况下，这个公式如下所示。

$$ \begin{aligned} &f(x+\Delta{x},y+\Delta{y})=f(x,y)+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}\Delta{y} \\ &+\frac{1}{2!}\left\{\frac{\partial^2f}{\partial{x^2}}(\Delta{x})^2+2\frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}}\Delta{x}\Delta{y}+\frac{\partial^2f}{\partial{y^2}}(\Delta{y})^2\right\} \\ &+\frac{1}{3!}\left\{\frac{\partial^3f}{\partial{x^3}}(\Delta{x})^3+3\frac{\partial^3f}{\partial{x^2}\partial{y}}(\Delta{x})^2(\Delta{y})+3\frac{\partial^3f}{\partial{x}\partial{y^2}}\Delta{x}(\Delta{y})^2+\frac{\partial^3f}{\partial{y^3}}(\Delta{y})^3\right\} \\ &+\cdots \end{aligned} $$ 在泰勒展开式中，取出前三项，就得到近似公式 $$ f(x+\Delta{x}, y+\Delta{y})\fallingdotseq{f(x,y)+\frac{\partial{f}}{\partial{x}}\Delta{x}+\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}\Delta{y} $$ 此外，我们约定 $$\frac{\partial^2f}{\partial{x^2}}=\frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \quad \frac{\partial^2f}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{x}} \frac{\partial{f}}{\partial{y}}, \quad \cdots$$

1、sin(x)的泰勒展开式

$$ \begin{flalign} &\because \sin^{'}{x}=\cos{x},\quad \cos^{'}{x}=-\sin{x} &\\ &\therefore \sin^{'}{x}=\cos{x} &\\ &\quad \; \sin^{''}{x}=-\sin{x} &\\ &\quad \; \sin^{'''}{x}=-\cos{x} &\\ &\quad \; \sin^{''''}{x}=\sin{x} &\\ &\text{当x=0时，有} &\\ &\quad \; \sin^{'}{0}=\cos{0}=1 &\\ &\quad \; \sin^{''}{0}=-\sin{0}=0 &\\ &\quad \; \sin^{'''}{0}=-\cos{0}=-1 &\\ &\quad \; \sin^{''''}{0}=\sin{0}=0 &\\ &\text{将f(x)=sinx，f(x0)=sin0代入泰勒公式，得} &\\ &\sin{x}=\frac{\sin{0}}{0!}+\frac{\sin^{'}{0}}{1!}(x-0)+\frac{\sin^{''}{0}}{2!}(x-0)^2+ \frac{\sin^{'''}{0}}{3!}(x-0)^3+\cdots &\\ &\quad \quad \;=0+x+0-\frac{1}{3!}x^3+0+\frac{1}{5!}x^5+0-\frac{1}{7!}x^7+, \cdots &\\ &\text{从上面可以看出，分母为偶数的项全部为0，分母为奇数的项前面的符号呈现出正负交替的规律。} \end{flalign} $$

2、cos(x)的泰勒展开式

$$ \begin{flalign} &\because \sin^{'}{x}=\cos{x}, \quad (-\sin{x})^{'}=-\cos{x}, \quad (-\cos{x})^{'}=\sin{x} &\\ &\therefore \cos^{'}{x}=-\sin{x} &\\ &\quad \; \cos^{''}{x}=-\cos{x} &\\ &\quad \; \cos^{'''}{x}=\sin{x} &\\ &\quad \; \cos^{''''}{x}=\cos{x} &\\ &\text{当x=0时，有} &\\ &\quad \; \cos^{'}{0}=-\sin{0}=0 &\\ &\quad \; \cos^{''}{0}=-\cos{0}=-1 &\\ &\quad \; \cos^{'''}{0}=\sin{0}=0 &\\ &\quad \; \cos^{''''}{0}=\cos{0}=1 &\\ &\text{将f(x)=cosx，f(x0)=cos0代入泰勒公式，得} &\\ &\cos{x}=\frac{\cos{0}}{0!}+\frac{\cos^{'}{0}}{1!}(x-0)+\frac{\cos^{''}{0}}{2!}(x-0)^2+ \frac{\cos^{'''}{0}}{3!}(x-0)^3+\cdots &\\ &\quad \quad \;\,=1 + 0 - \frac{1}{2!}x^2 + 0 + \frac{1}{4!}x^4 + 0 - \frac{1}{6!}x^6 + 0 + \frac{1}{8!}x^8+, \cdots &\\ &\text{从上面可以看出，分母为奇数的项全部为0，分母为偶数的项前面的符号呈现出正负交替的规律。} \end{flalign} $$

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