鸟语天空

正交矩阵

作者：追风剑情 发布于：2018-9-5 20:43 分类：计算机图形学

一、运算法则 若方阵M是正交的，则当且仅当M与它转置MT的乘积等于单位矩阵。 因为矩阵乘以它的逆等于单位矩阵：MMT=I。所以，如果一个矩阵是正交的，那么它的转置等于它的逆。 这是一条非常有用的性质，因为在实际应用中经常需要计算矩阵的逆，而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁（旋转和镜像矩阵都是正交的）。如果知道矩阵是正交的...

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矩阵的逆

作者：追风剑情 发布于：2018-8-19 12:55 分类：计算机图形学

求逆运算只能用于方阵。        并非所有矩阵都有逆，一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零，用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的可奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零，非奇矩阵的行列式不为零，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可...

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变换的组合

作者：追风剑情 发布于：2018-8-11 12:47 分类：计算机图形学

因为矩阵乘法满足结合律，可以先把所有变换矩阵组合起来，这样向量只需乘以一个最终变换矩阵。 矩阵组合从代数角度看是利用了矩阵乘法的结合律。 从几何角度看，矩阵的行向量就是变换后的基向量。这在多个变换的情况下也是成立的。参见 矩阵几何解释 考虑矩阵乘法AB，结果中的每一行都是A中相应行与矩阵B相乘的结果。换言之，设a1,a2,a3为A的...

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矩阵的转置(一)

作者：追风剑情 发布于：2018-8-10 22:04 分类：计算机图形学

考虑一个r×c矩阵M。M的转置记作MT，是一个c×r矩阵，它的列由M的行组成。可以从另一方面理解，MijT=Mji，即沿着矩阵的对角线翻折。 对于向量来说，转置将使行向量变成列向量，使列向量成为行向量。 转置记法经常用于在书面表达中书写列向量，如[1,2,3]T。 有两条非常简单但很重要的关于矩阵转置的引理： ...

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切变

作者：追风剑情 发布于：2018-8-6 20:09 分类：计算机图形学

切变是一种坐标系“扭曲”变换，非均匀地拉伸它。切变的时候角度会发生变化，但令人惊奇的是面积和体积却保持不变。基本思想是将某一坐标的乘积加到另一个上。例如，2D中，将y乘以某个因子然后加到x上，得到x'=x+sy。 实现这个切变变换的矩阵为： 记法Hx的意义是x坐标根据坐标y被切变，参数s控制着切变的方向和量。另一种2D切变矩阵Hy： ...

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矩阵的行列式

作者：追风剑情 发布于：2018-8-1 21:40 分类：计算机图形学

在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。 方阵M的行列式记作|M|或det M。非方阵矩阵的行列式是未定义的。nxn阶矩阵的行列式定义非常复杂。 2×2阶矩阵行列式的定义: 主对角线各元素相乘减去反对角线各元素相乘 注意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。 可以用类似下面的示意图来帮助记忆。 ...

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向量投影

作者：追风剑情 发布于：2018-7-31 20:31 分类：计算机图形学

给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量：v∥和v⊥。它们分别平行于和垂直于n，并满足v=v⊥+v∥。一般称平行分量v∥为v在n上的投影。 由以上公式或得： 当n为单位向量时:

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镜像

作者：追风剑情 发布于：2018-7-30 20:38 分类：计算机图形学

镜像(也叫作反射)是一种变换，基作用是将物体沿直线(2D中)或平面(3D中)“翻折”。 使缩放因子为-1能够很容易地实现镜像变换。设n为2D单位向量，下面所示的矩阵将沿通过原点且垂直于n的反射轴进行镜像变换： 3D中，用反射平面代替直线。下面的矩阵将沿通过原点且垂直于n的平面进行镜像变换： 注意：一个物体只能镜像一次，如果再次镜像...

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正交投影——向任意直线或平面投影

作者：追风剑情 发布于：2018-7-25 20:52 分类：计算机图形学

这里不考虑平移，直线或平面必须通过原点。投影由垂直于直线或平面的单位向量n定义。通过使该方向的缩放因子为零能够导出向任意方向投影的矩阵。 向任意直线投影的2D矩阵 向任意平面投影的3D矩阵 上面用到沿任意方向缩放矩阵，参见 3D中沿任意方向缩放

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正交投影——向坐标轴或平面上投影

作者：追风剑情 发布于：2018-7-24 20:48 分类：计算机图形学

一般来说，投影意味着降维操作。 向x轴投影的2D矩阵，让y的缩放值为0。如图 向y轴投影的2D矩阵，让x的缩放值为0。如图 同理，3D中： 向xy平面投影的3D矩阵 向xz平面投影的3D矩阵 向yz平面投影的3D矩阵

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3D中沿任意方向缩放

作者：追风剑情 发布于：2018-7-23 20:53 分类：计算机图形学

      我们可以不依赖坐标系而沿任意方向进行缩放。设n为平行于缩放方向的单位向量，k为缩放因子，缩放沿穿过原点并平行于n的直线(2D中)或平面(3D中)进行。       我们需要推导出一个表达式，给定向量v，可以通过v，n和k来计算v'。为了做到这一点，将v分解为两个分量，v∥和v⊥，分别平行于n和垂直于n，并满足v=v...

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3D中沿坐标轴的缩放

作者：追风剑情 发布于：2018-7-21 21:09 分类：计算机图形学

     最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子。缩放是沿着垂直的轴(2D中)或平面(3D中)进行的。如果每个轴的缩放因子相同，就是均匀缩放，否则是非均匀缩放。      2D中有两个缩放因子，Kx和Ky。 凭直觉就可知道，基向量p，q由相应的缩放因子单独影响： 用基向量构造...

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3D中绕任意轴的旋转

作者：追风剑情 发布于：2018-7-13 21:08 分类：计算机图形学

这里讨论绕通过原点的任意轴。用单位向量n描述旋转轴，用θ描述旋转量。 让我们导出绕轴n旋转角度θ的矩阵。也就是说，我们想得到满足下面条件的矩阵 vR(n, θ)=v' v'是向量v绕轴n旋转后的向量。让我们看看能否用v，n和θ表示v'。我们的想法是在垂直于n的平面中解决这个问题，那么这就转换为了一个简单的2D问题。为了做到这一点，将v分解为两个分量：v∥和v⊥，...

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3D中绕坐标轴旋转

作者：追风剑情 发布于：2018-7-6 21:14 分类：计算机图形学

先看看2D中旋转基向量 得到矩阵 1、绕3D中的x轴旋转 求出旋转后的基向量(Y'、Z')，可以得到矩阵: 2、绕3D中的y轴旋转 3、绕3D中的z轴旋转

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行向量与列向量

作者：追风剑情 发布于：2018-7-1 13:57 分类：计算机图形学

用行向量左乘矩阵，得到行向量： 用列向量右乘矩阵，得到列向量: 先不说一个是行向量、一个是列向量的差异，其各分量的值是完全不同的！这就是行向量和列向量区别如此重要的原因。 使用行向量的理由: 更适合书写。例如，[1,2,3] 当用矩阵乘法实现坐标系转换时，向量左乘矩阵的形式更加方便。例如，用矩...

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矩阵乘法

作者：追风剑情 发布于：2018-6-30 20:37 分类：计算机图形学

标量和矩阵的乘法 直接用这个标量乘以矩阵的每一项 矩阵与矩阵相乘 如果矩阵A的列数和B的行数不匹配，则乘法AB无意义。 矩阵乘法计算如下：记r×n矩阵A与n×c矩阵B的积r×c矩阵AB为C。C的任意元素Cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果。正式定义为： 例如 关于矩阵乘法的注...

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投影平面

作者：追风剑情 发布于：2018-6-23 20:15 分类：计算机图形学

从侧面看投影平面 由相似三角形得到： 同理 所有投影点的z值都是相同的：-d。因此，点p通过原点向平面z=-d投影的结果公式为: 在实际应用中，负号会带来不必要的复杂性。所以将投影平面移到投影的前面(也就是说，平面z=d)。 投影平面在投影中心前 将投影平面...

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向量-线性代数公式

作者：追风剑情 发布于：2018-6-22 20:38 分类：计算机图形学

线性代数公式 公式 解释 a+b=b+a 向量加法的交换律 a-b=a+(-b) 向量减法的定义 (a+b)+c=a+(b+...

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矩阵——几何解释

作者：追风剑情 发布于：2018-6-19 22:28 分类：计算机图形学

       一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，而原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能就被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。下面是一组非常有用的变换： 旋转 缩放 投影 ...

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投影矩阵(DIP)

作者：追风剑情 发布于：2018-6-2 11:24 分类：计算机图形学

OpenGL中的DIP矩阵 在OpenGL的裁剪空间中近裁剪面到远裁剪面的z值在[-w, +w]之间。 DirectX中的DIP矩阵 在DirectX的裁剪空间中近裁剪面到远裁剪面的z值在[0, w]之间。 zoomx和zoomy分别为水平、垂直缩放值，n、f分别为近、远二个剪切面的距离。 关于zoomx和zo...

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中点画圆法

作者：追风剑情 发布于：2018-4-14 22:55 分类：计算机图形学

中点画圆法 利用圆的八向对称性画圆。 假设从P点顺时针画圆,下一个像素点选P1还是P2呢? M为P1与P2的中点。 构造函数： 对于圆上的点，F(x, y)=0；对于圆外的点，F(x, y) > 0；而对于圆内的点，F(x, y) < 0。假设M是P1和P2的中点，即M=(xi+1, yi-0.5)。那么...

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视场与缩放

作者：追风剑情 发布于：2018-4-5 11:29 分类：计算机图形学

视场：视锥所截的角，实际上需要两个角(水平视场和垂直视场)。 (摄像机空间水平视场角示意图) 缩放：表示物体实际大小和物体在90度视场中显示大小的比。所以大比值表示放大，小比值表示缩小。比如，2.0的缩放表示物体在屏幕上比用90度视场时大两倍。 缩放与视场之间的转换公式： 在3D中，需要两个缩放值，...

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