矩阵的逆

作者:追风剑情 发布于:2018-8-19 12:55 分类:计算机图形学

求逆运算只能用于方阵。

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       并非所有矩阵都有逆,一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零,用任何矩阵乘以该矩阵,结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵,那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵,则称它为不可逆的可奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零,非奇矩阵的行列式不为零,所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外,对于任意可逆矩阵M,当且仅当v=0时,vM=0

M的"标准伴随矩阵"记作“adj M”,定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。下面是一个例子:

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计算M的代数余子式矩阵:

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M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置:

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一旦有了标准伴随矩阵,通过除以M的行列式,就能计算矩阵的逆。

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例如,为了求得上面矩阵的逆,有:

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当然还有其他方法可以用来计算矩阵的逆,比如高斯消元法(适合大矩阵或某些特殊矩阵)。对于低阶矩阵求逆,标准伴随矩阵更快一些。

矩阵的逆的重要性质:
  • 如果M是非奇异矩阵,则该矩阵的逆的逆等于原矩阵:(M-1)-1=M
  • 单位矩阵的逆是它本身:I-1=I
  • 矩阵转置的逆等于它的逆的转置:(MT)-1=(M-1)T
  • 矩阵乘积的逆等于矩阵的逆的相反顺序的乘积:(AB)-1=B-1A-1。这可扩展到多个矩阵的情况:(M1M2...Mn-1Mn)-1=Mn-1Mn-1-1...M2-1M1-1

几何解释
      矩阵的逆在几何上非常有用,因为它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤消”原变换的变换。所以如果向量v用矩阵M来进行变换,接着用M的逆M-1进行变换,将会得到原向量。这很容易通过代数方法验证:

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高斯消元法求解方程组(C#实现)

标签: 计算机图形学

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