行列式的计算

作者：追风剑情发布于：2025-7-18 21:23 分类：Algorithms

前文说过，对于二阶行列式和三阶行列式，可以用对角线法则。对于四阶以及四阶以上的行列式就没有对角线法则了。通常直接利用定义1.10计算行列式比较复杂。下面通过一些具体的例子来介绍几种常用的计算行列式的方法。

计算数字型行列式最常用方法是把行列式化成三角形行列式。

例 1.22 计算 4 阶行列式 $ \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 6 \\ 2 &-5 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 4 &-6 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} $

$ \begin{flalign} \textbf{解} \quad \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 6 \\ 2 &-5 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \\ 4 &-6 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} & \xlongequal{\substack{r_2+2r_1 \\ r_3+r_1 \\ r_4+4r_1}} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 6 \\ 0 &-1 & 1 & 14 \\ 0 & 3 & 0 & 9 \\ 0 & 2 & 1 & 26 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{\substack{r_4+2r_2 \\ r_3+3r_2}} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 6 \\ 0 &-1 & 1 & 14 \\ 0 & 0 & 3 & 51 \\ 0 & 0 & 3 & 54 \\ \end{vmatrix} &\\ &\xlongequal{\substack{r_4-r_3}} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 & 6 \\ 0 &-1 & 1 & 14 \\ 0 & 0 & 3 & 51 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{vmatrix} =9 \end{flalign} $

计算字母型行列式通常用行列式的性质，有时也用到按一行（列）展开，再利用数学归纳法和递推法。

例 1.23 计算 n 阶行列式 $ D_n= \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a \\ a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & \cdots & x \\ \end{vmatrix} $

解此行列式每行各元素之和均为 x+(n-1)a，因此

$$ \begin{flalign} D_n &\underset{\;j=2,\cdots,n\;}{\xlongequal{c_1 + c_j}} \begin{vmatrix} x+(n-1)a & a & \cdots & a \\ x+(n-1)a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x+(n-1)a & a & \cdots & x \\ \end{vmatrix} \underset{\;i=2,\cdots,n\;}{\xlongequal{r_i - r_1}} \begin{vmatrix} x+(n-1)a & a & \cdots & a \\ 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x-a \\ \end{vmatrix} \\[1em] &= [x+(n-1)a](x-a)^{n-1} \\ \end{flalign} $$

例 1.24 证明 n 阶范德蒙德(Vandermonde)行列式

$$ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x^2_1 & x^2_2 & x^2_3 & \cdots & x^2_n \\ \vdots&\vdots &\vdots & & \vdots \\ x^{n-1}_1 & x^{n-1}_2 & x^{n-1}_3 & \cdots & x^{n-1}_n \\ \end{vmatrix} = \underset{1 \le i < j \le n}{\prod}(x_j-x_i) \tag{1.6.17} $$

其中 $n \ge 2$，连乘积 $\underset{1 \le i < j \le n}{\prod}(x_j-x_i)$ 中因式 $(x_j-x_i)$ 共有 $$ (n-1)+\cdots+2+1=\frac{n(n-1)}{2} $$ 个，即
$ D_n=[(x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots (x_n-x_1)][(x_3-x_2)\cdots (x_n-x_2)]\cdots (x_n-x_{n-1}) $

证明（1）当 n=2 时， $ D_2= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_1 & x_2 \\ \end{vmatrix} =x_2-x_1= \underset{1 \le i < j \le 2}{\prod}(x_j-x_i) $ ，即(1.6.17)式对于 n=2 成立。

（2）当 n > 2 时，假设(1.6.17)式对于 n=k-1 成立，下面证明(1.6.17)式对于 n=k 成立，事实上。 $$ \begin{flalign} D_k &\underset{\; i=k,\cdots,2\;}{\xlongequal{r_i - x_1r_{i-1}}} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_k-x_1 \\ 0 & x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_k(x_k-x_1) \\ \vdots&\vdots &\vdots & & \vdots \\ 0 & x^{k-2}_2(x_2-x_1) & x^{k-2}_3(x_3-x_1) & \cdots & x^{k-2}_k(x_k-x_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & x_3-x_1 & \cdots & x_k-x_1 \\ x_2(x_2-x_1) & x_3(x_3-x_1) & \cdots & x_k(x_k-x_1) \\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ x^{k-2}_2(x_2-x_1) & x^{k-2}_3(x_3-x_1) & \cdots & x^{k-2}_k(x_k-x_1) \\ \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_k-x_1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_2 & x_3 & \cdots & x_k \\ \vdots &\vdots & & \vdots \\ x^{k-2}_2 & x^{k-2}_3 & \cdots & x^{k-2}_k \\ \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1)(x_3-x_1)\cdots(x_k-x_1) \underset{2 \le i < j \le k}{\prod}(x_j-x_i) \\ &=\underset{1 \le i < j \le k}{\prod}(x_j-x_i) \end{flalign} $$

由数学归纳法原理可知(1.6.17)式对于任意的 $n \ge 2$ 均成立。

例 1.25 计算 n 阶行列式 $ D_n= \begin{vmatrix} 2 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 2 & 1 \\ & & & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} $

解（方法一）用初等变换化成三角形行列式，即 $$ \begin{flalign} D_n &\xlongequal{r_2-\frac{1}{2}r_1} \begin{vmatrix} 2 & 1 & & & \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & & \\ 0 & 1 & 2 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & 2 & 1 \\ & & & & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{r_3-\frac{2}{3}r_2} \begin{vmatrix} 2 & 1 & & & \\ 0 & \frac{3}{2} & 1 & & \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & 1 & & \\ & & 1 & 2 & 1 & & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} \\ &=\cdots= \begin{vmatrix} 2 & 1 & & & \\ & \frac{3}{2} & 1 & & \\ & & \frac{4}{3} & \ddots & & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \frac{n+1}{n} \\ \end{vmatrix} = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{n+1}{n} = n+1 \end{flalign} $$

（方法二）按第一行展开，得递推公式

$$ D_n=2D_{n-1}- \begin{vmatrix} 1 & 1 & & & \\ 0 & 2 & 1 & & \\ 0 & 1 & 2 & 1 & \\ & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} = 2D_{n-1}-D_{n-2} $$

因为 $D_1=2，D_2=3，D_3=2D_2-D_1=4$，所以猜测 $D_n=n+1$。下面用数学归纳法证明 $D_n=n+1$ 对于一切正整数 n 均成立。

（1）当 n=1，2，3 时，$D_n=n+1$ 已经成立。

（2）当 n>3 时，假设 $D_k = k + 1$ 对于 k<n 已经成立，那么 $D_{n-1}=(n-1)+1=n$，$D_{n-2}=(n-2)+1=n-1$，因而 $D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}=2n-(n-1)=n+1$。

（3）由数学归纳法原理可知 $D_n=n+1$ 对于一切正整数 n 均成立。

例 1.26 已知矩阵 $A=(\alpha,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)，B=(\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$，其中 $\alpha,\beta,\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 都是 $4 \times 1$ 矩阵，且 |A|=4，|B|=1，求行列式 $|A^T+B^T|$ 的值。

$ \begin{flalign} \textbf{解} \qquad |A^T+B^T|&=|(A+B)^T|=|A+B|=|\alpha + \beta, 2\gamma_1, 2\gamma_2, 22\gamma_3| &\\ &=|\alpha, 2\gamma_1, 2\gamma_2, 2\gamma_3| + |\beta, 2\gamma_1, 2\gamma_2, 2\gamma_3| &\\ &=2^3|\alpha, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3| + 2^3|\beta, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3| &\\ &=8 \times 4 + 8 \times 1 = 40 \end{flalign} $

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