鸟语天空

相似矩阵

作者：追风剑情 发布于：2025-3-20 13:22 分类：Algorithms

  设数列$\{x_n\}，\{y_n\}$满足 $ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x_n&=3x_{n-1} - y_{n-1} \\ y_n&=-x_{n-1} + 3y_{n-1} \end{aligned} \right. \end{equation} $ 其中 $x_0=y_0=1$。我们来求 $x...

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矩阵变换的优缺点

作者：追风剑情 发布于：2025-3-6 11:04 分类：Algorithms

  3D中，描述坐标系中方位的一种方法就是列出这个坐标系的基向量，这些基向量是用其他的坐标系来描述的。用这些基向量构成一个3X3矩阵，然后就能用矩阵形式来描述方位。换句话说，能用一个旋转矩阵来描述这两个坐标系之间的相对方位,这个旋转矩阵用于把一个坐标系中的向量转换到另外一个坐标系中。 用哪个矩阵？   我们已经知道怎样用矩阵将点从一个坐标系变换到另一个坐标系。究竟是用哪个变...

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规范化三次埃尔米特(Hermite)曲线插值

作者：追风剑情 发布于：2024-12-31 10:58 分类：Algorithms

三次埃尔米特(Hermite)曲线插值 为了使P(t)的定义区间 $t_0 \le t \le t_1$ 变为区间 $0 \le u \le 1$，可以做如下变换 $$ u=\frac{t-t_0}{t_1-t_0} \tag{4-25} $$ 从式（4-25）中解出 $t=t_0+(t_1-t_0)u$，代入式（4-23）中各式，得 \begin{equation} \l...

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C#哈夫曼编码文件压缩

作者：追风剑情 发布于：2024-10-16 20:43 分类：Algorithms

  因为需要将统计表保存到文件中，以便解码时重建哈夫曼树，所以当数据量小时，可能压缩后的文件比原文件还大。哈夫曼编码适合用来压缩数据量大且字符出现频率高的文件。算法原理参见 哈夫曼树(Huffman Tree) 一、哈夫曼算法实现 using System; using System.Collections; using System.Collections.Generic...

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行列式的定义

作者：追风剑情 发布于：2024-8-19 21:07 分类：Algorithms

例 1.16 中的$d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$决定了A的可逆性。可见它是对应于方阵A的一个重要的数值。人们称之为A的行列式，并用如下记号来表示 $$ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| $$ 一般地，...

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方阵的行列式

作者：追风剑情 发布于：2024-8-17 0:01 分类：Algorithms

  众所周知，一个数a的倒数a-1存在当且仅当a≠0。然而由上节的讨论知，即使是非零的方阵也不一定可逆。那么我们能否找到一个刻画方阵特征的数，用这个数来判别方阵在何时可逆？回答是肯定的。   本节将采用归纳法来定义n阶行列式，证明它的性质，然后介绍它的计算方法及其应用。我们将会看到上述要找的这个数就是行列式的值：一个方阵可逆当且仅当它的行列式不为零。 例 1.16 设 $...

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用初等变换求逆矩阵

作者：追风剑情 发布于：2024-5-25 11:04 分类：Algorithms

设A为可逆矩阵，则$A^{-1}(A,E)=(E,A^{-1})$。可由(1.5.2)可得 $$ P_s \cdots P_2 P_1 (A,E) = (E,A^{-1}) $$ 根据定理1.1，上式意味着对分块矩阵(A,E)施行有限次初等变换，当左边的子块化为单位矩阵E的时候，右边的子块就化为$A^{-1}$。于是可得用初等变换求逆矩阵的方法，即 $$ (A,E) \xrightar...

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初等矩阵与可逆矩阵

作者：追风剑情 发布于：2024-5-17 11:01 分类：Algorithms

  除了逆矩阵的定义之外，如何判断一个矩阵是否可逆呢？由定理1.2可知，在把一个复杂的矩阵分解为若干个简单的矩阵的乘积时，矩阵A与初等矩阵和行最简形矩阵有关。因此，这里把判断任一方阵是否可逆的问题转化为初等矩阵和行最简形矩阵是否可逆的问题来完成，并由此得到用初等变换求逆矩阵的方法。 首先，先看一下初等矩阵的可逆性。 定理 1.5 初等矩阵都可逆，而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等...

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方阵的逆矩阵

作者：追风剑情 发布于：2024-4-28 17:15 分类：Algorithms

  到现在，我们已经把数的加法与乘法运算“推广”到了矩阵运算，那么自然要问，如何把数的除法运算推广到矩阵运算？在数的运算中，每个数a只要不是零，便有一个数a-1，使得$aa^{-1}=a^{-1}a=1$，对于除法运算b÷a可以用乘法运算$ba^{-1}$或$a^{-1}b$来表示。那么，是否每个矩阵A只要不是零矩阵，便会有一个矩阵B使得AB=BA=E呢？回答是否定的。因为，当矩阵A的行数与列数不...

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矩阵的转置(二)

作者：追风剑情 发布于：2024-4-25 18:17 分类：Algorithms

定义 1.5 把矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$的行依次换成同序数的列得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作$A^T$。 例如，矩阵 $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} $ 的转置矩阵 $ A^T=\begin{pmatrix} 1 &am...

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矩阵的基本运算

作者：追风剑情 发布于：2024-4-16 18:58 分类：Algorithms

  我们知道，数有加、减、乘、除四则运算，那么矩阵有相应的运算吗？本节首先把数的加法、减法和乘法推广到矩阵，得到矩阵的加法，减法，数乘和乘法，然后再介绍矩阵的转置。 1、矩阵的线性运算 两个矩阵的行数和列数都相等时，称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$与$B=(b_{ij})_{m×n}$的对应元素相等，即 $$ a_{ij}=b_{i...

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矩阵的基本概念

作者：追风剑情 发布于：2024-4-10 16:52 分类：Algorithms

  线性代数主要处理与数量的线性关系相关的问题，和其他数学课程一样，线性代数有两类基本的数学构件：一类是对象、数据；一类是这些对象进行的运算，本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表——矩阵及其运算，矩阵是线性代数的一个最基本的概念。矩阵的运算是线性代数的基本内容。在数学科学、自然科学、工程技术与生产实践中，有许多问题都可以归结为矩阵的运算，进而用矩阵的理论来处理。 &...

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分块矩阵

作者：追风剑情 发布于：2024-4-1 18:18 分类：Algorithms

基本概念 在处理阶数比较高的矩阵的时候，将其“分割”成一些低阶的矩阵往往能够起到化简计算的作用或者为推理提供新的思路。例如 $$ \begin{flalign} & A=\left[ \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 ...

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初等矩阵

作者：追风剑情 发布于：2024-3-11 19:39 分类：Algorithms

  在算术中，大于等于2的整数可以分解为若干个素数的乘积，自然地会想到矩阵是否也能进行类似的分解，即能否把一个复杂的矩阵分解为若干个比较简单的矩阵的乘积。   最简单的矩阵是单位矩阵与零矩阵。其次，比较简单的矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换所得到的方阵，这样的矩阵称为初等矩阵，与三种类型的初等变换相对应，有以下三种类型的初等矩阵。 （1）对换矩阵——交换单位矩阵的第i行(列...

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矩阵初等变换

作者：追风剑情 发布于：2024-3-4 17:17 分类：Algorithms

  线性代数的一个重要而基本的方面，就是线性方程组的求解。早在我国古代重要的数学著作《九章算术》就详细地讨论了线性方程组的解法，为线性代数铺下了第一块基石。 例如求解线性方程组 $$ \begin{equation} (Ⅰ) \quad \left\{ \begin{aligned} 2x_1 + x_2 = 1, \quad (1) \\ x_1 + x_2 = 1, \...

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矩阵的秩

作者：追风剑情 发布于：2024-2-4 14:28 分类：Algorithms

  我们知道任何一个矩阵Am×n都可以经过初等变换化为等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$。那么经过不同的初等变换过程得到的最终结果是否相同呢?本节我们将会看到矩阵Am×n的等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$。由Am×n唯一确定。也就是说,经过不同的初等变换过程,最终得到的结果是一样的,其中的r反映了矩阵Am×n的一个特征属性——秩. 基本概念   定义1...

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三角级数

作者：追风剑情 发布于：2024-1-30 16:17 分类：Algorithms

1.三角级数 在自然界常常遇到周期现象。自变量为t，周期为T的周期函数可以表示为 $$ \begin{flalign} f(t+T)=f(t) \end{flalign} $$ 例如，交流电压V随时间变化的关系为 $$ \begin{flalign} V(t)=V_0\sin(ωt+\varphi) \tag{1.1.1} \end{flalign} $$ 这是...

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三角形重心坐标空间

作者：追风剑情 发布于：2023-11-29 10:48 分类：Algorithms

  虽然我们经常在 3D 中使用三角形，但三角形的表面是一个平面，它天生是一个 2D 物体。在 3D 中任意朝向的三角形表面上移动是一件令人烦恼的事。最好是有一个坐标空间与三角形表面相关联且独立于三角形所在的 3D 坐标空间。重心坐标空间正是这样的坐标空间。   三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值。这个权就称作重心坐标,从重心坐标(b1, b2, b3)到标准3D坐标的转...

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变换分类

作者：追风剑情 发布于：2023-11-27 14:03 分类：Algorithms

对变换进行分类有很多种标准，本节将讨论所介绍怎样对变换进行分类。 变换的类别并不是互斥的，也不存在一定的“次序”或“层次”使得某一类比另一类多或少一些限制。 当讨论一般意义上的变换时，我们将使用类似的术语: 映射或函数。在最一般的意义上，映射就是种简单的规则，接收输入，产生输出。我们把从a到b的映射记作F(a)=b。当然，我们的兴趣在于能用矩阵表达的映射，但讨论其他映射也是...

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斯库顿定理

作者：追风剑情 发布于：2023-11-21 14:19 分类：Algorithms

斯库顿定理 如果AD是ΔABC的角平分线，则有： AD2=AB•AC-BD•DC 记忆方法：中方=上积-下积 $$ \begin{flalign} \mathbf{\text{证明}}&\because\Delta{ABE}\sim\Delta{ADC} &\\ &\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{AE...

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平面

作者：追风剑情 发布于：2023-7-3 16:17 分类：Algorithms

1、计算点到平面的距离 设想一个平面和一个不在平面上的点q。平面上存在一个点p，它到q的距离最短。很明显，从p到q的向量垂直于平面，且形式为an。如下图所示。 假设n为单位向量，那么p到q的距离（也就是q到平面的距离）就是a了。（如果q在平面的反面，这个距离为负。）令人惊奇的是，不用知道p的位置就能计算出a。让我们回顾下q的原定义，并做一些向量计算以消掉p。 ...

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平滑梯度函数(smoothstep)

作者：追风剑情 发布于：2023-4-14 19:22 分类：Algorithms

Smoothstep函数公式如下 f(x)这个复合函数即为Smoothstep函数，当x的取值范围在[a, b]区间变化时，该函数描述了一个先缓慢加速再缓慢减速的过程。请参考下图。 函数图像 通过调整a、b的值，可以将f(x)函数在水平方向进行拉伸或平移。t(x)函数的作用就是将原来的[0,1]区间映射到[a,b]区间...

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