球的体积公式推导

作者:追风剑情 发布于:2022-8-10 11:30 分类:Algorithms

设:球的体积V,半径R,将球划分成n个圆柱体,每个圆柱体的半径为r,高为h(微元dh),底面积为s,体积为v,有 $ \begin{flalign} &h=R\cdot{sinθ} \\ &r=R\cdot{cosθ} \\ &s=πr^2 \\ &v=s×h=πr^2×R\cdot{sinθ}=π{(R\cdot{cosθ})^2}×R\cdot{sinθ} \end{flal...

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高等数学——泰勒公式

作者:追风剑情 发布于:2022-6-17 9:46 分类:Algorithms

  两个函数在给定点x0处的值相等,表示这两个函数在x0处相交。若这两个函数在x0处的一阶导数也相等,表示这两个函数在x0处相切。若这两个函数在x0处的二阶导数也相等,表示这两个函数在x0处的弯曲方向相同。由此可知,更高阶的导数在x0处相等,表示从x0处开始这两个函数的拟合度越高。 泰勒公式的几何意义 使用多项式函数在给定函数的某点展开,逼近给定函数。可用泰勒公式求给定函数某点附近的近...

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最优化问题和回归分析

作者:追风剑情 发布于:2022-6-8 16:44 分类:Algorithms

在为了分析数据而建立数学模型时,通常模型是由参数确定的。在数学世界中,最优化问题就是如何确定这些参数。 从数学上来说,确定神经网络的参数是一个最优化问题,具体就是对神经网络的参数(即权重和偏置)进行拟合,使得神经网络的输出与实际数据相吻合。 为了理解最优化问题,最浅显的例子就是回归分析。下面我们就利用简单的回归分析问题来考察最优化问题的结构。 什么是回归分析 ...

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用数学式表示模式的相似度

作者:追风剑情 发布于:2022-5-27 10:58 分类:Algorithms

卷积神经网络的特征映射的值以图像和过滤器的相似度作为输入信息。相似度可以利用下面的定理进行计算。 由3×3像素构成的两个数组A、F如下图所示。A、F的相似度可以像下面这样求出。 $$相似度=w_{11}x_{11}+w_{12}x_{12}+w_{13}x_{13}+\cdots+w_{33}x_{33}\tag{1}$$ 这个定理可以利用向量的性质来说明...

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梯度下降法

作者:追风剑情 发布于:2022-5-24 9:35 分类:Algorithms

  应用数学最重要的任务之一就是寻找函数取最小值的点。梯度下降法是神经网络中找函数最小值的点的方法。在数值分析领域,梯度下降法也称为最速下降法。 通过导数找函数最小值 例 1 已知函数 z=f(x,y),求使函数取得最小值的 x、y ? 解 分别对x、y求偏导数,当x、y的偏导数都为0时,函数 z=f(x,y) 取得最小值。 $$\frac{\partial{...

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常用曲线图

作者:追风剑情 发布于:2022-5-12 23:38 分类:Algorithms

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Sigmoid函数

作者:追风剑情 发布于:2022-5-9 10:35 分类:Algorithms

Sigmoid函数常被用作神经网络的激活函数,将变量映射到0,1之间。 Sigmoid函数由下列公式定义 $$S(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$ 其对x的导数可以用自身表示 $$S'(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}=S(x)(1-S(x))$$ 函数图像

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拉格朗日乘数法

作者:追风剑情 发布于:2022-5-9 10:06 分类:Algorithms

在实际的最小值问题中,有时会对变量附加约束条件,例如下面这个问题。 例 当 $x^2+y^2=1$ 时,求 x+y 的最小值。 这种情况下我们使用拉格朗日乘数法。这个方法首先引入参数λ,创建下面的函数L $$L=f(x,y)-λg(x,y)=(x+y)-λ(x^2+y^2-1)$$ 分别对x、y求偏导数,得 $$\frac{δL}{δx}=1-2λx=0,\quad\...

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一阶微分方程

作者:追风剑情 发布于:2022-5-5 10:41 分类:Algorithms

本节将介绍一阶微分方程的初等解法,即把微分方程的求解问题化为积分问题进行求解。一般说来,一阶微分方程未必能用初等解法来求解,能用初等解法来求解微分方程的类型很少。但是能用初等解法来求解的微分方程在实际问题中却经常出现。因此掌握这些类型的微分方程的求解方法具有重要的实际意义。 一阶微分方程的一般形式为  (公式1) 如果由方程可以解出y',即:  ...

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高等数学——微元分析法

作者:追风剑情 发布于:2022-4-13 21:15 分类:Algorithms

在自然科学和生产实践中,有许多实际问题最后都能归结为定积分问题。本节将应用定积分的方法导出一些几何量与物理量的计算公式。但要强调的是,学习本节的目的并不只是记住这几个具体的公式,而是要通过这些实例了解并掌握定积分的微元分析法。 一、微元分析法 为了说明微元分析法的解题思路,让我们先复习一下曲边梯形面积问题的处理方法。 设函数f(x)在区间[a,b]上连续非负,...

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图像处理——二值填充

作者:追风剑情 发布于:2022-4-11 12:23 分类:Algorithms

图像填充是形态学的一种常用操作,它通过膨胀等操作,根据像素边界求出像素区域。若所用的 非边界元素均标为 0,下述过程将把这个区域用 1 来填充:设 B 为对称结构元素,在图像4中,从区 域边界内的一点 P 开始,将1 赋给 P,X0=P,按下列迭代程序填充整个区域。 式中,k= 1,2,3,…结束条件为Xk=Xk-1 。集合Xk和A的并集包含被填充的集合和它的边界。 ...

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图像处理——二值膨胀

作者:追风剑情 发布于:2022-4-2 9:54 分类:Algorithms

膨胀是腐蚀运算的对偶运算,可以通过对补集的腐蚀来定义。我们以Ac表示集合A的补集,Bv表示B关于坐标原点的反射。那么,集合A被集合B膨胀表示为 A⊕B,其定义为 为了利用结构元素B膨胀集合A,可将B相对原点旋转180度得到Bv,再利用Bv对Ac进行腐蚀。 下面以 QR 码为例说明膨胀操作一种应用。QR 码是一种普遍使用的矩阵式二维条码,除具有二 维条码所具有的信息容量大、可...

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图像处理——二值腐蚀

作者:追风剑情 发布于:2022-4-1 11:32 分类:Algorithms

集合A(输入图像)被集合B(结构元素)腐蚀,表示为 AΘB, 其定义为 AΘB={x:B+x⊂A} 可见,AΘB由将B平移x仍包含在A内的所有点x组成。如果将B视为模板,那么AΘB则由在将模板平移的过程中,所有可填入A内部的模板的原点组成。 示例:数学形态学腐蚀图像 using System; using System.Drawing; using System....

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高等数学——定积分的换元法与分部积分法

作者:追风剑情 发布于:2022-3-10 21:02 分类:Algorithms

在应用定积分换元公式计算定积分时,选代换x=ρ(t)与不定积分选代换是类似的,而与不定积分换元法不同的是:定积分换元后必须相应地要改变新积分的上、下限(这里α不一定小于β),然后只要计算出新的积分的数值就行了,不需要再换回原来的变量。 关于奇、偶函数在对称区间[-a, a]上的积分性质: (1) 若f(x)在[-a, a]上连续且为偶函数,则 ...

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常微分方程

作者:追风剑情 发布于:2022-2-26 11:34 分类:Algorithms

      函数是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系,利用函数关系,可以对客观事物的运动规律进行研究。但是在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动时,反映运动规律的函数关系往往不能直接写出来,只能根据问题所提供的条件建立自变量、未知函数和未知函数的导数的关系式,这种含未知函数的导数的关系就称为微分方程,进一步对微分方程进行研究,解出未知函数,这就是所谓的解...

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高等数学——微积分基本公式

作者:追风剑情 发布于:2021-10-28 20:32 分类:Algorithms

在引进定积分的概念时,曾经讨论过变速直线运动的路程。若质点运动的速度为v(t),则质点从时刻T1到T2所经过的路程为 另一方面,如果知道质点的运动规律(即位置函数)为 s=s(t) ,则质点从T1到T2所经过的路程为 从而有 由导数定义和 s`(t)=v(t),即 这就是微积分基...

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高等数学——定积分

作者:追风剑情 发布于:2021-9-19 13:42 分类:Algorithms

引例:曲边梯形 由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的图形AabB称为曲边梯形。 定积分可用来求曲边梯形的面积,而在不同的场景下曲边梯形的面积又有不同的含义。例如: 1、将f(x)看作变速曲线,那么曲边梯形的面积就等于变速直线运动的路程。 2、将f(x)看作变力曲线,那么曲边梯形的面积就等于变力沿直线所做的功。 ...

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高等数学——不定积分

作者:追风剑情 发布于:2021-7-31 10:24 分类:Algorithms

一、不定积分 定义1  已知函数f(x)在某区间I上有定义,如果存在函数F(x),使得在I上任何一点x都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x)dx 则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数。 ' : 代表对F(x)求导(F'(x)) d: 代表对F(x)求导(dF(x)),dx代表积分变量是x f(x)dx: f(x)是导函数,dx表示求导变...

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四元数(Quaternion)

作者:追风剑情 发布于:2021-7-23 16:13 分类:Algorithms

一、四元数记法 一个四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。经常记标量分量为w,记向量分量为单一的v或分开的x, y, z。两种记法分别如下: [w, v] [w, (x, y, z)] 在某些情况下,用v这样的短记法更方便,但另一些情况下,“扩展”的记法会更清楚。 也可以将四元数竖着写,有时这会使等式的格式一目了然。“行”或“列”四元数没有...

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图像方差

作者:追风剑情 发布于:2021-7-11 17:12 分类:Algorithms

令zi,i=0,1,2,...,L-1表示一幅M×N大小数字图像中所有可能的灰度值,则在给定图像中灰度级zk出现的概率p(zk)可估计为: 式中,nk是灰度zk在图像中出现的次数,MN是像素总数。显然, 一旦我们知道了p(zk),就可以得出许多重要的图像特性。例如,平均灰度由下式给出: (平均灰度值越大,说明图像越偏亮) ...

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图像灰度级的扩展与压缩

作者:追风剑情 发布于:2021-7-10 10:26 分类:Algorithms

一、对数变换 对数变化的通用形式为 s=clog(1+r) ,式中c是常数(通常取1),并假设r>=0。底数决定曲线弯曲程度。 对数曲线的形状表明,该变换将输入中范围较窄的低灰度值映射为输出中范围较宽的灰度值,或将输入中范围较宽的高灰度值映射为输出范围较窄的灰度值。我们使用这种类型的变换来扩展图像中的暗像素值,同时压缩更高灰度级的值。反对数变换的作用...

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哈夫曼树(Huffman Tree)

作者:追风剑情 发布于:2021-6-12 14:19 分类:Algorithms

哈夫曼树(Huffman Tree)也是一种特殊的二叉树,这种树的所有叶子结点都带有权值,从中构造出带权路径长度最短的二叉树,即哈夫曼树。 设二叉树具有n个带权值的叶子结点,那么从根结点到各个叶子结点的路径长度与相应结点权值的乘积的和,称为二叉树的带权路径长度,记作: 其中,wi为第i个叶子结点的权值;li为第i个叶子结点的路径长度。如图所示的二叉树,它的带...

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