变换分类

作者：追风剑情发布于：2023-11-27 14:03 分类：Algorithms

对变换进行分类有很多种标准，本节将讨论所介绍怎样对变换进行分类。

变换的类别并不是互斥的，也不存在一定的“次序”或“层次”使得某一类比另一类多或少一些限制。

当讨论一般意义上的变换时，我们将使用类似的术语: 映射或函数。在最一般的意义上，映射就是种简单的规则，接收输入，产生输出。我们把从a到b的映射记作F(a)=b。当然，我们的兴趣在于能用矩阵表达的映射，但讨论其他映射也是可能的。

仿射变换是指线性变换后接着平移、因此，伤射变换的集合是线性变换的超集，任何线性变换都是仿射变换，但不是所有仿射变换都是线性变换。

本章中讨论的所有变换都是线性变换，所以它们都是仿射变换。

以后我们将要讨论的大多数变换都是仿射变换，任何具有形式v'=vM+b的变换都是仿射变换。

如果存在一个逆变换可以“撒消”原变换，那么该变换是可逆的。换句话说，如果存在逆变换F^-1使得F^-1(F(a))=a，对于任意a，映射F(a)是可逆的。

存在非仿射变换的可逆变换，但暂不考虑它们。现在，我们集中精力于检测一个仿射变换是否可逆。一个仿射变换就是一个线性变换加上平移，显然，可以用相反的量“撤消”平移部分。所以问题变为一个线性变换是否可逆。

显然，除了投影以外，其他变换都能“撤消”。当物体被投影时，某一维有用的信息被抛弃了，而这些信息是不可能恢复的。因此，所有基本变换除了投影都是可逆的。

因为任意线性变换都能表达为矩阵，所以求逆变换等价于求矩阵的逆。如果矩阵是奇异的，则变换不可逆，可逆矩阵的行列式不为零。

如果变换前后两向量夹角的大小和方向都不改变，该变换是等角的。只有平移，旋转和均匀缩放是等角变换。等角变换将会保持比例不变，镜像并不是等角变换，因为尽管两向量夹角的大小不变，但夹角的方向改变了。所有等角变换都是仿射和可逆的。

术语“正交”用来描述有某种性质的矩阵，正交变换的基本思想是轴保持互相垂直，而且不进行缩放变换。正交变换很有意思，因为很容易求出它的逆。

平移、旋转和镜像是仅有的正交变换。长度、角度、面积和体积都保持不变。(尽管如此，但因为镜像变换被认为是正交变换，所以一定要密切注意角度、面积和体积的准确定义)。

正交矩阵的行列式为±1。

所有正交矩阵都是仿射和可逆的。

刚体变换只改变物体的位置和方向，不包括形状。所有长度、角度、面积和体积都不变。平移和旋转是仅有的刚体变换，镜像并不被认为是刚体变换。

刚体变换也被称作正规变换，所有刚体变换都是正交、等角，可逆和仿射的。

其些刚体变换旋转矩阵的行列式为 1。

下表列出了变换类别之间的关系。表中，“Y”代表该行具有其所在列的性质，这里没有“Y”的列并非表示“从不"，而是表示“不经常”。