线性变换

作者：追风剑情发布于：2018-12-9 16:01 分类：Algorithms

在数学上，如果满足下式，那么映射F(a)就是线性的：

以及

如果映射F保持了基本运算：加法和数量乘，那么就可以称该映射为线性的。在这种情况下，将两个向量相加然后再进行变换得到的结果和先分别进行变换再将变换后的向量相加得到的结果相同。同样，将一个向量数量乘再进行变换和先进行变换再数量乘的结果也是一样的。

这个线性变换的定义有两条重要的引理：

● 映射F(a)=aM，当M为任意方阵时，说映射是一个线性变换。这是因为：

和

● 零向量的任意线性变换的结果仍然是零向量。(如果F(0)=a，a≠0。那么F不可能是线性变换。因为F(k0)=a，但F(k0)≠kF(0))因此，线性变换不会导致平移 (原点位置上不会变化)。

在某些文献中，线性变换的定义是平行线变换后仍然是平行线。大多数情况下它是对的，但有一个小小的例外：投影(当一条直线投影后变成一个点，能认为这个点平行于什么？)除了这点理论上的例外，这种定义是正确的。线性变换可能造成“拉伸”，但直线不会“弯折”，所以平行线仍然保持平行。

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