用初等变换求逆矩阵

作者:追风剑情 发布于:2024-5-25 11:04 分类:Algorithms

设A为可逆矩阵,则$A^{-1}(A,E)=(E,A^{-1})$。可由(1.5.2)可得 $$ P_s \cdots P_2 P_1 (A,E) = (E,A^{-1}) $$ 根据定理1.1,上式意味着对分块矩阵(A,E)施行有限次初等变换,当左边的子块化为单位矩阵E的时候,右边的子块就化为$A^{-1}$。于是可得用初等变换求逆矩阵的方法,即 $$ (A,E) \xrightar...

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初等矩阵与可逆矩阵

作者:追风剑情 发布于:2024-5-17 11:01 分类:Algorithms

  除了逆矩阵的定义之外,如何判断一个矩阵是否可逆呢?由定理1.2可知,在把一个复杂的矩阵分解为若干个简单的矩阵的乘积时,矩阵A与初等矩阵和行最简形矩阵有关。因此,这里把判断任一方阵是否可逆的问题转化为初等矩阵和行最简形矩阵是否可逆的问题来完成,并由此得到用初等变换求逆矩阵的方法。 首先,先看一下初等矩阵的可逆性。 定理 1.5 初等矩阵都可逆,而且初等矩阵的逆矩阵仍是初等...

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方阵的逆矩阵

作者:追风剑情 发布于:2024-4-28 17:15 分类:Algorithms

  到现在,我们已经把数的加法与乘法运算“推广”到了矩阵运算,那么自然要问,如何把数的除法运算推广到矩阵运算?在数的运算中,每个数a只要不是零,便有一个数a-1,使得$aa^{-1}=a^{-1}a=1$,对于除法运算b÷a可以用乘法运算$ba^{-1}$或$a^{-1}b$来表示。那么,是否每个矩阵A只要不是零矩阵,便会有一个矩阵B使得AB=BA=E呢?回答是否定的。因为,当矩阵A的行数与列数不...

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矩阵的转置(二)

作者:追风剑情 发布于:2024-4-25 18:17 分类:Algorithms

定义 1.5 把矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$的行依次换成同序数的列得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵,记作$A^T$。 例如,矩阵 $ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} $ 的转置矩阵 $ A^T=\begin{pmatrix} 1 &am...

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矩阵的基本运算

作者:追风剑情 发布于:2024-4-16 18:58 分类:Algorithms

  我们知道,数有加、减、乘、除四则运算,那么矩阵有相应的运算吗?本节首先把数的加法、减法和乘法推广到矩阵,得到矩阵的加法,减法,数乘和乘法,然后再介绍矩阵的转置。 1、矩阵的线性运算 两个矩阵的行数和列数都相等时,称它们是同型矩阵。如果两个同型矩阵$A=(a_{ij})_{m×n}$与$B=(b_{ij})_{m×n}$的对应元素相等,即 $$ a_{ij}=b_{i...

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矩阵的基本概念

作者:追风剑情 发布于:2024-4-10 16:52 分类:Algorithms

  线性代数主要处理与数量的线性关系相关的问题,和其他数学课程一样,线性代数有两类基本的数学构件:一类是对象、数据;一类是这些对象进行的运算,本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表——矩阵及其运算,矩阵是线性代数的一个最基本的概念。矩阵的运算是线性代数的基本内容。在数学科学、自然科学、工程技术与生产实践中,有许多问题都可以归结为矩阵的运算,进而用矩阵的理论来处理。 &...

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分块矩阵

作者:追风剑情 发布于:2024-4-1 18:18 分类:Algorithms

基本概念 在处理阶数比较高的矩阵的时候,将其“分割”成一些低阶的矩阵往往能够起到化简计算的作用或者为推理提供新的思路。例如 $$ \begin{flalign} & A=\left[ \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 ...

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初等矩阵

作者:追风剑情 发布于:2024-3-11 19:39 分类:Algorithms

  在算术中,大于等于2的整数可以分解为若干个素数的乘积,自然地会想到矩阵是否也能进行类似的分解,即能否把一个复杂的矩阵分解为若干个比较简单的矩阵的乘积。   最简单的矩阵是单位矩阵与零矩阵。其次,比较简单的矩阵是对单位矩阵进行一次初等变换所得到的方阵,这样的矩阵称为初等矩阵,与三种类型的初等变换相对应,有以下三种类型的初等矩阵。 (1)对换矩阵——交换单位矩阵的第i行(列...

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矩阵初等变换

作者:追风剑情 发布于:2024-3-4 17:17 分类:Algorithms

  线性代数的一个重要而基本的方面,就是线性方程组的求解。早在我国古代重要的数学著作《九章算术》就详细地讨论了线性方程组的解法,为线性代数铺下了第一块基石。 例如求解线性方程组 $$ \begin{equation} (Ⅰ) \quad \left\{ \begin{aligned} 2x_1 + x_2 = 1, \quad (1) \\ x_1 + x_2 = 1, \...

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矩阵的秩

作者:追风剑情 发布于:2024-2-4 14:28 分类:Algorithms

  我们知道任何一个矩阵Am×n都可以经过初等变换化为等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$。那么经过不同的初等变换过程得到的最终结果是否相同呢?本节我们将会看到矩阵Am×n的等价标准形$E^{(r)}_{m×n}$。由Am×n唯一确定。也就是说,经过不同的初等变换过程,最终得到的结果是一样的,其中的r反映了矩阵Am×n的一个特征属性——秩. 基本概念   定义1...

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三角级数

作者:追风剑情 发布于:2024-1-30 16:17 分类:Algorithms

1.三角级数 在自然界常常遇到周期现象。自变量为t,周期为T的周期函数可以表示为 $$ \begin{flalign} f(t+T)=f(t) \end{flalign} $$ 例如,交流电压V随时间变化的关系为 $$ \begin{flalign} V(t)=V_0\sin(ωt+\varphi) \tag{1.1.1} \end{flalign} $$ 这是...

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三角形重心坐标空间

作者:追风剑情 发布于:2023-11-29 10:48 分类:Algorithms

  虽然我们经常在 3D 中使用三角形,但三角形的表面是一个平面,它天生是一个 2D 物体。在 3D 中任意朝向的三角形表面上移动是一件令人烦恼的事。最好是有一个坐标空间与三角形表面相关联且独立于三角形所在的 3D 坐标空间。重心坐标空间正是这样的坐标空间。   三角形所在平面的任意点都能表示为顶点的加权平均值。这个权就称作重心坐标,从重心坐标(b1, b2, b3)到标准3D坐标的转...

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变换分类

作者:追风剑情 发布于:2023-11-27 14:03 分类:Algorithms

对变换进行分类有很多种标准,本节将讨论所介绍怎样对变换进行分类。 变换的类别并不是互斥的,也不存在一定的“次序”或“层次”使得某一类比另一类多或少一些限制。 当讨论一般意义上的变换时,我们将使用类似的术语: 映射或函数。在最一般的意义上,映射就是种简单的规则,接收输入,产生输出。我们把从a到b的映射记作F(a)=b。当然,我们的兴趣在于能用矩阵表达的映射,但讨论其他映射也是...

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斯库顿定理

作者:追风剑情 发布于:2023-11-21 14:19 分类:Algorithms

斯库顿定理 如果AD是ΔABC的角平分线,则有: AD2=AB•AC-BD•DC 记忆方法:中方=上积-下积 $$ \begin{flalign} \mathbf{\text{证明}}&\because\Delta{ABE}\sim\Delta{ADC} &\\ &\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{AE...

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平面

作者:追风剑情 发布于:2023-7-3 16:17 分类:Algorithms

1、计算点到平面的距离 设想一个平面和一个不在平面上的点q。平面上存在一个点p,它到q的距离最短。很明显,从p到q的向量垂直于平面,且形式为an。如下图所示。 假设n为单位向量,那么p到q的距离(也就是q到平面的距离)就是a了。(如果q在平面的反面,这个距离为负。)令人惊奇的是,不用知道p的位置就能计算出a。让我们回顾下q的原定义,并做一些向量计算以消掉p。 ...

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光度学基本理论

作者:追风剑情 发布于:2022-8-30 10:49 分类:Algorithms

  和辐射度学相比,光度学的研究对象只限于可见光范围内,并且要以人眼的视觉特性为基础。辐射度学中的所有概念,如光通量、光照强度等,都和视觉函数有关。光度量和辐射度量的定义是一一对应的。下面列出了基本的辐射度量和光度量的名称、符号、方程和单位名称。有时为了避免混淆,在辐射度量符号上加上下标e,在光度学符号上加上下标v,如辐射度量Φe、Ie、Me等,光度量Φv、Iv、Mv等。 ...

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点光源、辐射强度和辐射亮度

作者:追风剑情 发布于:2022-8-29 11:19 分类:Algorithms

点光源和力学中的质点类似,只要当用来测定光的辐射的某个位置,其与光源的距离是光源的最大尺寸的某倍时,该光源就可以被视为点光源,通常该倍数不小于15。点光源以球面波的方式向空间辐射电磁波。如果在传输介质中没有反射、散射和吸收,那么在给定方向上的某一个立体角内,无论辐射距离有多远,其辐射能量是不变的。   辐射强度(radiation intensity)定义为在给定传输方向上,单位立体角...

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CIE1931-RGB颜色模型

作者:追风剑情 发布于:2022-8-18 10:38 分类:Algorithms

这个网站提供了大量颜色空间理论的相关资料:http://www.brucelindbloom.com/index.html   因为人眼中有3种感知色彩的视锥细胞,所以理论上用3种不同颜色的光就可以混合出自然界中任何一种颜色来。人们通过大量的实验,通过对3种颜色的光源进行匹配,得到了人眼对于不同颜色光的匹配函数。   这一类实验的过程大致如下:把一个银幕用不透光的挡板分割...

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CIE1931-XYZ颜色模型

作者:追风剑情 发布于:2022-8-17 9:46 分类:Algorithms

国际照明委员会(International Commission on Illumination,CIE)。 RGB模型缺点 有部分颜色需要R值为负才能混合出来。而在现实中红色是不能为负的,CIE为了解决这个问题,提出了XYZ模型。 CIE1931-XYZ 颜色模型色度图 图中的颜色只是一个效果示意。事实上,没有设备能把自然界中所有颜色完全显示出来。 ...

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计算点到线段的距离

作者:追风剑情 发布于:2022-8-15 10:17 分类:Algorithms

点P在向量AB上的投影为点Q,如果Q落在向量AB上,则PQ的长度即为点P到线段AB的距离。如果点Q落在向量AB之外,则点P到线段最近端的距离则为点P到线段AB的距离。 $ \overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AB}|cosθ=|\overrightarr...

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判断点是否在三角形内

作者:追风剑情 发布于:2022-8-12 10:15 分类:Algorithms

利用向量叉乘判断一个点是否在三角形内 向量叉乘公式 $\large{\mathbf{a}=(x_1,y_1,z_1)}$ $\large{\mathbf{b}=(x_2,y_2,z_2)}$ $\large{\mathbf{a} × \mathbf{b}=(y_1z_2-y_2z_1, z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)}$ 注意:叉乘不满...

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球的体积公式推导

作者:追风剑情 发布于:2022-8-10 11:30 分类:Algorithms

设:球的体积V,半径R,将球划分成n个圆柱体,每个圆柱体的半径为r,高为h(微元dh),底面积为s,体积为v,有 $ \begin{flalign} &h=R\cdot{sinθ} \\ &r=R\cdot{cosθ} \\ &s=πr^2 \\ &v=s×h=πr^2×R\cdot{sinθ}=π{(R\cdot{cosθ})^2}×R\cdot{sinθ} \end{flal...

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