矩阵的基本概念
作者:追风剑情 发布于:2024-4-10 16:52 分类:Algorithms
线性代数主要处理与数量的线性关系相关的问题,和其他数学课程一样,线性代数有两类基本的数学构件:一类是对象、数据;一类是这些对象进行的运算,本章就是讨论最简单的由数形成的矩形数表——矩阵及其运算,矩阵是线性代数的一个最基本的概念。矩阵的运算是线性代数的基本内容。在数学科学、自然科学、工程技术与生产实践中,有许多问题都可以归结为矩阵的运算,进而用矩阵的理论来处理。
本章首先介绍矩阵的概念,然后介绍矩阵的线性运算、乘法、转置、可逆矩阵、矩阵的初等变换、分块矩阵以及方阵的行列式和矩阵的秩.
» 矩阵的基本概念
在现实生活中,人们往往不仅需要使用单个的数,而且还要处理成批的数。这就需要把数的概念推广到矩阵。
定义 1.1 由m×n个数$a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;\; j=1,2,\cdots,n)$按一定的次序排成m行n列的表 $$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} $$ 称为一个m行n列的矩阵。横的每排叫做矩阵的行,纵的每排叫做矩阵的列。$a_{ij}$叫做矩阵A的第i行,第j列的元素。i和j分别叫做$a_{ij}$的行指标和列指标。矩阵A又可记作$(a_{ij})$,$(a_{ij})_{m×n}$或$A_{m×n}$。通常用大写英文字母A,B,C,$\cdots$来表示矩阵。
例如变量$x_1,x_2$与$y_1,y_2,y_3$的关系式 $$ \left\{ \begin{aligned} x_1=a_{11}y_1+a_{12}y_2+a_{13}y_3 \\ x_2=a_{21}y_1+a_{22}y_2+a_{23}y_3 \end{aligned} \right. $$ 中的系数就构成一个矩阵 $$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ \end{pmatrix} $$
元素都是实数的矩阵称为实矩阵,元素都是复数的矩阵称为复矩阵.
当一个矩阵的行数与列数都是n时,称该矩阵为n阶方阵或n阶矩阵。在n阶矩阵A中,元素$a_{ij}(i=1,2,\cdots,n)$排成的对角线称为方阵的主对角线。
一个m行1列的矩阵 $$ A_{m×1}=\begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} $$ 称为一个列矩阵或列向量。我们常用希腊字母$α,β,γ,\cdots$表示列向量。
类似地,一个1行n列的矩阵 $$ A_{1×n}=(a_{11} \quad \cdots \quad a_{1n}) $$ 称为一个行矩阵或行向量。为了醒目起见,我们通常在行向量的元素之间加上逗号,即$A_{1×n}=(a_{11},\cdots,a_{1n})$。
特别地,一个1×1的矩阵$(a_{11})$就是一个数,此时可以将括号去掉,直接记成$a_{11}$。这就是说,数可看成矩阵的特例。
» 几种特殊的矩阵
在利用矩阵解决问题时,经常遇到下面几种特殊矩阵。
零矩阵:若一个矩阵的所有元素均为零,则这个矩阵称为零矩阵,记为O。
对角矩阵:若一个n阶矩阵除主对角线上的元素之外,其余元素全部为零,则称此矩阵为对角矩阵,通常用Λ表示,即 $$ \Lambda = \begin{pmatrix} a_{11} & \quad & \quad & \quad \\ \quad & a_{22} & \quad & \quad \\ \quad & \quad & \ddots & \quad \\ \quad & \quad & \quad & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ 这里非主对角线上的元素0可以省略不写,或记为Λ=diag$(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})$。
数量矩阵:若对角矩阵Λ的主对角线上的元素为同一个数a,即$a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=a$,则称此矩阵为数量矩阵。
单位矩阵:若n阶数量矩阵的主对角线上的元素为1,则此矩阵称为单位矩阵,记为E或En,即 $$ E = \begin{pmatrix} 1 & \quad & \quad & \quad \\ \quad & 1 & \quad & \quad \\ \quad & \quad & \ddots & \quad \\ \quad & \quad & \quad & 1 \\ \end{pmatrix} $$
三角矩阵:若一个方阵的主对角线下(上)面的元素全为零,则此矩阵称为上(下)三角矩阵。上、下三角矩阵统称为三角矩阵。
行阶梯形矩阵:若一个矩阵$A=(a_{ij})m×n$中的某一行元素全为零,则称这一行为零行,否则称之为非零行。非零行的第一个非零元素称为非零首元。若A的各非零行的非零首元的列指标随着行指标的增大而严格增大,并且零行(如果有的话)均在所有非零行的下方,则此矩阵称为行阶梯形矩阵。例如
行最简形矩阵:若一个行阶梯形矩阵的每个非零行的非零首元均为1,并且此非零首元所在列的其余元素均为零,则此矩阵称为行最简形矩阵。例如 $$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ 是行最简形矩阵。
标签: Algorithms
日历
最新文章
随机文章
热门文章
分类
存档
- 2024年10月(2)
- 2024年9月(3)
- 2024年8月(3)
- 2024年7月(11)
- 2024年6月(3)
- 2024年5月(9)
- 2024年4月(10)
- 2024年3月(11)
- 2024年2月(24)
- 2024年1月(12)
- 2023年12月(3)
- 2023年11月(9)
- 2023年10月(7)
- 2023年9月(2)
- 2023年8月(7)
- 2023年7月(9)
- 2023年6月(6)
- 2023年5月(7)
- 2023年4月(11)
- 2023年3月(6)
- 2023年2月(11)
- 2023年1月(8)
- 2022年12月(2)
- 2022年11月(4)
- 2022年10月(10)
- 2022年9月(2)
- 2022年8月(13)
- 2022年7月(7)
- 2022年6月(11)
- 2022年5月(18)
- 2022年4月(29)
- 2022年3月(5)
- 2022年2月(6)
- 2022年1月(8)
- 2021年12月(5)
- 2021年11月(3)
- 2021年10月(4)
- 2021年9月(9)
- 2021年8月(14)
- 2021年7月(8)
- 2021年6月(5)
- 2021年5月(2)
- 2021年4月(3)
- 2021年3月(7)
- 2021年2月(2)
- 2021年1月(8)
- 2020年12月(7)
- 2020年11月(2)
- 2020年10月(6)
- 2020年9月(9)
- 2020年8月(10)
- 2020年7月(9)
- 2020年6月(18)
- 2020年5月(4)
- 2020年4月(25)
- 2020年3月(38)
- 2020年1月(21)
- 2019年12月(13)
- 2019年11月(29)
- 2019年10月(44)
- 2019年9月(17)
- 2019年8月(18)
- 2019年7月(25)
- 2019年6月(25)
- 2019年5月(17)
- 2019年4月(10)
- 2019年3月(36)
- 2019年2月(35)
- 2019年1月(28)
- 2018年12月(30)
- 2018年11月(22)
- 2018年10月(4)
- 2018年9月(7)
- 2018年8月(13)
- 2018年7月(13)
- 2018年6月(6)
- 2018年5月(5)
- 2018年4月(13)
- 2018年3月(5)
- 2018年2月(3)
- 2018年1月(8)
- 2017年12月(35)
- 2017年11月(17)
- 2017年10月(16)
- 2017年9月(17)
- 2017年8月(20)
- 2017年7月(34)
- 2017年6月(17)
- 2017年5月(15)
- 2017年4月(32)
- 2017年3月(8)
- 2017年2月(2)
- 2017年1月(5)
- 2016年12月(14)
- 2016年11月(26)
- 2016年10月(12)
- 2016年9月(25)
- 2016年8月(32)
- 2016年7月(14)
- 2016年6月(21)
- 2016年5月(17)
- 2016年4月(13)
- 2016年3月(8)
- 2016年2月(8)
- 2016年1月(18)
- 2015年12月(13)
- 2015年11月(15)
- 2015年10月(12)
- 2015年9月(18)
- 2015年8月(21)
- 2015年7月(35)
- 2015年6月(13)
- 2015年5月(9)
- 2015年4月(4)
- 2015年3月(5)
- 2015年2月(4)
- 2015年1月(13)
- 2014年12月(7)
- 2014年11月(5)
- 2014年10月(4)
- 2014年9月(8)
- 2014年8月(16)
- 2014年7月(26)
- 2014年6月(22)
- 2014年5月(28)
- 2014年4月(15)
友情链接
- Unity官网
- Unity圣典
- Unity在线手册
- Unity中文手册(圣典)
- Unity官方中文论坛
- Unity游戏蛮牛用户文档
- Unity下载存档
- Unity引擎源码下载
- Unity服务
- Unity Ads
- wiki.unity3d
- Visual Studio Code官网
- SenseAR开发文档
- MSDN
- C# 参考
- C# 编程指南
- .NET Framework类库
- .NET 文档
- .NET 开发
- WPF官方文档
- uLua
- xLua
- SharpZipLib
- Protobuf-net
- Protobuf.js
- OpenSSL
- OPEN CASCADE
- JSON
- MessagePack
- C在线工具
- 游戏蛮牛
- GreenVPN
- 聚合数据
- 热云
- 融云
- 腾讯云
- 腾讯开放平台
- 腾讯游戏服务
- 腾讯游戏开发者平台
- 腾讯课堂
- 微信开放平台
- 腾讯实时音视频
- 腾讯即时通信IM
- 微信公众平台技术文档
- 白鹭引擎官网
- 白鹭引擎开放平台
- 白鹭引擎开发文档
- FairyGUI编辑器
- PureMVC-TypeScript
- 讯飞开放平台
- 亲加通讯云
- Cygwin
- Mono开发者联盟
- Scut游戏服务器引擎
- KBEngine游戏服务器引擎
- Photon游戏服务器引擎
- 码云
- SharpSvn
- 腾讯bugly
- 4399原创平台
- 开源中国
- Firebase
- Firebase-Admob-Unity
- google-services-unity
- Firebase SDK for Unity
- Google-Firebase-SDK
- AppsFlyer SDK
- android-repository
- CQASO
- Facebook开发者平台
- gradle下载
- GradleBuildTool下载
- Android Developers
- Google中国开发者
- AndroidDevTools
- Android社区
- Android开发工具
- Google Play Games Services
- Google商店
- Google APIs for Android
- 金钱豹VPN
- TouchSense SDK
- MakeHuman
- Online RSA Key Converter
- Windows UWP应用
- Visual Studio For Unity
- Open CASCADE Technology
- 慕课网
- 阿里云服务器ECS
- 在线免费文字转语音系统
- AI Studio
- 网云穿
- 百度网盘开放平台
- 迅捷画图
- 菜鸟工具
- [CSDN] 程序员研修院
- 华为人脸识别
- 百度AR导航导览SDK
- 海康威视官网
- 海康开放平台
- 海康SDK下载
交流QQ群
-
Flash游戏设计: 86184192
Unity游戏设计: 171855449
游戏设计订阅号