正交矩阵

作者:追风剑情 发布于:2018-9-5 20:43 分类:计算机图形学

一、运算法则 若方阵M是正交的,则当且仅当M与它转置MT的乘积等于单位矩阵。 因为矩阵乘以它的逆等于单位矩阵:MMT=I。所以,如果一个矩阵是正交的,那么它的转置等于它的逆。 这是一条非常有用的性质,因为在实际应用中经常需要计算矩阵的逆,而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁(旋转和镜像矩阵都是正交的)。如果知道矩阵是正交的...

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矩阵的逆

作者:追风剑情 发布于:2018-8-19 12:55 分类:计算机图形学

求逆运算只能用于方阵。        并非所有矩阵都有逆,一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为零,用任何矩阵乘以该矩阵,结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵,那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵,则称它为不可逆的可奇异矩阵。奇异矩阵的行列式为零,非奇矩阵的行列式不为零,所以检测行列式的值是判断矩阵是否可...

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矩阵转置

作者:追风剑情 发布于:2018-8-10 22:04 分类:计算机图形学

考虑一个r×c矩阵M。M的转置记作MT,是一个c×r矩阵,它的列由M的行组成。可以从另一方面理解,MijT=Mji,即沿着矩阵的对角线翻折。 对于向量来说,转置将使行向量变成列向量,使列向量成为行向量。 转置记法经常用于在书面表达中书写列向量,如[1,2,3]T。 有两条非常简单但很重要的关于矩阵转置的引理: ...

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切变

作者:追风剑情 发布于:2018-8-6 20:09 分类:计算机图形学

切变是一种坐标系“扭曲”变换,非均匀地拉伸它。切变的时候角度会发生变化,但令人惊奇的是面积和体积却保持不变。基本思想是将某一坐标的乘积加到另一个上。例如,2D中,将y乘以某个因子然后加到x上,得到x'=x+sy。 实现这个切变变换的矩阵为: 记法Hx的意义是x坐标根据坐标y被切变,参数s控制着切变的方向和量。另一种2D切变矩阵Hy: ...

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矩阵的行列式

作者:追风剑情 发布于:2018-8-1 21:40 分类:计算机图形学

在任意方阵中都存在一个标量,称作该方阵的行列式。 方阵M的行列式记作|M|或det M。非方阵矩阵的行列式是未定义的。nxn阶矩阵的行列式定义非常复杂。 2×2阶矩阵行列式的定义: 主对角线各元素相乘减去反对角线各元素相乘 注意,在书写行列式时,两边用竖线将数字块围起来,省略方括号。 可以用类似下面的示意图来帮助记忆。 ...

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向量投影

作者:追风剑情 发布于:2018-7-31 20:31 分类:计算机图形学

给定两个向量v和n,能将v分解成两个分量:v∥和v⊥。它们分别平行于和垂直于n,并满足v=v⊥+v∥。一般称平行分量v∥为v在n上的投影。 由以上公式或得: 当n为单位向量时:

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镜像

作者:追风剑情 发布于:2018-7-30 20:38 分类:计算机图形学

镜像(也叫作反射)是一种变换,基作用是将物体沿直线(2D中)或平面(3D中)“翻折”。 使缩放因子为-1能够很容易地实现镜像变换。设n为2D单位向量,下面所示的矩阵将沿通过原点且垂直于n的反射轴进行镜像变换: 3D中,用反射平面代替直线。下面的矩阵将沿通过原点且垂直于n的平面进行镜像变换: 注意:一个物体只能镜像一次,如果再次镜像...

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正交投影——向任意直线或平面投影

作者:追风剑情 发布于:2018-7-25 20:52 分类:计算机图形学

这里不考虑平移,直线或平面必须通过原点。投影由垂直于直线或平面的单位向量n定义。通过使该方向的缩放因子为零能够导出向任意方向投影的矩阵。 向任意直线投影的2D矩阵 向任意平面投影的3D矩阵 上面用到沿任意方向缩放矩阵,参见 3D中沿任意方向缩放

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正交投影——向坐标轴或平面上投影

作者:追风剑情 发布于:2018-7-24 20:48 分类:计算机图形学

一般来说,投影意味着降维操作。 向x轴投影的2D矩阵,让y的缩放值为0。如图 向y轴投影的2D矩阵,让x的缩放值为0。如图 同理,3D中: 向xy平面投影的3D矩阵 向xz平面投影的3D矩阵 向yz平面投影的3D矩阵

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3D中沿任意方向缩放

作者:追风剑情 发布于:2018-7-23 20:53 分类:计算机图形学

      我们可以不依赖坐标系而沿任意方向进行缩放。设n为平行于缩放方向的单位向量,k为缩放因子,缩放沿穿过原点并平行于n的直线(2D中)或平面(3D中)进行。       我们需要推导出一个表达式,给定向量v,可以通过v,n和k来计算v'。为了做到这一点,将v分解为两个分量,v∥和v⊥,分别平行于n和垂直于n,并满足v=v...

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3D中沿坐标轴的缩放

作者:追风剑情 发布于:2018-7-21 21:09 分类:计算机图形学

     最简单的缩放方法是沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子。缩放是沿着垂直的轴(2D中)或平面(3D中)进行的。如果每个轴的缩放因子相同,就是均匀缩放,否则是非均匀缩放。      2D中有两个缩放因子,Kx和Ky。 凭直觉就可知道,基向量p,q由相应的缩放因子单独影响: 用基向量构造...

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3D中绕任意轴的旋转

作者:追风剑情 发布于:2018-7-13 21:08 分类:计算机图形学

这里讨论绕通过原点的任意轴。用单位向量n描述旋转轴,用θ描述旋转量。 让我们导出绕轴n旋转角度θ的矩阵。也就是说,我们想得到满足下面条件的矩阵 vR(n, θ)=v' v'是向量v绕轴n旋转后的向量。让我们看看能否用v,n和θ表示v'。我们的想法是在垂直于n的平面中解决这个问题,那么这就转换为了一个简单的2D问题。为了做到这一点,将v分解为两个分量:v∥和v⊥,...

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3D中绕坐标轴旋转

作者:追风剑情 发布于:2018-7-6 21:14 分类:计算机图形学

先看看2D中旋转基向量 得到矩阵 1、绕3D中的x轴旋转 求出旋转后的基向量(Y'、Z'),可以得到矩阵: 2、绕3D中的y轴旋转 3、绕3D中的z轴旋转

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行向量与列向量

作者:追风剑情 发布于:2018-7-1 13:57 分类:计算机图形学

用行向量左乘矩阵,得到行向量: 用列向量右乘矩阵,得到列向量: 先不说一个是行向量、一个是列向量的差异,其各分量的值是完全不同的!这就是行向量和列向量区别如此重要的原因。 使用行向量的理由: 更适合书写。例如,[1,2,3] 当用矩阵乘法实现坐标系转换时,向量左乘矩阵的形式更加方便。例如,用矩...

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矩阵乘法

作者:追风剑情 发布于:2018-6-30 20:37 分类:计算机图形学

标量和矩阵的乘法 直接用这个标量乘以矩阵的每一项 矩阵与矩阵相乘 如果矩阵A的列数和B的行数不匹配,则乘法AB无意义。 矩阵乘法计算如下:记r×n矩阵A与n×c矩阵B的积r×c矩阵AB为C。C的任意元素Cij等于A的第i行向量与B的第j列向量的点乘结果。正式定义为: 例如 关于矩阵乘法的注意事项:...

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投影平面

作者:追风剑情 发布于:2018-6-23 20:15 分类:计算机图形学

从侧面看投影平面 由相似三角形得到: 同理 所有投影点的z值都是相同的:-d。因此,点p通过原点向平面z=-d投影的结果公式为: 在实际应用中,负号会带来不必要的复杂性。所以将投影平面移到投影的前面(也就是说,平面z=d)。 投影平面在投影中心前 将投影平面...

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