矩阵——几何解释

作者:追风剑情 发布于:2018-6-19 22:28 分类:计算机图形学

       一般来说,方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线,而原点没有移动。线性变换保留直线的同时,其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能就被变换改变了。从非技术意义上说,线性变换可能“拉伸”坐标系,但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。下面是一组非常有用的变换:

  • 旋转
  • 缩放
  • 投影
  • 镜像
  • 仿射


矩阵是怎样变换向量的

向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移。如,向量[1, -3, -4]能被解释成位移[1, 0, 0],随后位移[0, -3, 0],最后位移[0, 0, 4]。依据三角形法则将这个位移序列解释成向量的加法:

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一般来说,任意向量v都能写为“扩展”形式:

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注意右边的单位向量就是x,y,z轴。向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。

让我们将上面的向量和重新写一遍,这次,分别将p,g和r定义为指向+x,+y和+z方向的单位向量:3333.png

将向量表示为基向量的线性组和

现在,向量v就被表示成向量p,q,r的线性变换了。向量p,q,r称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴,但事实上,一个坐标系能用任意3个基向量定义,当然这三个向量要线性无关(也就是不在同一平面上)。以p,q,r为行构建一个3×3矩阵M,可得到公式:

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将矩阵解释为基向量集合

用一个向量乘以该矩阵,得到:

5555.png

这和前面计算转换后的v的等式相同。我们发现关键点是:

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量,那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换。若有aM=b,我们就可以说,M将a转换到b。

     从这一点看,术语“转换”和“乘法”是等价的。

     坦率地说,矩阵并不神秘,它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数学运算。进一步,用线性代数操作矩阵,是一种进行简单转换或导出更复杂转换的简便方法。

矩阵的形式

先看一下基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M时的情况:

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正如您所见,用基向量[1, 0, 0]乘以M时,结果是M的第1行。其他两行也有同样的结果。这是一个关键的发现:

矩阵的每一行都解释为转换后的基向量。

这个强有力的概念有两条重要性质:

  • 有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。
  • 有了反向建立矩阵的可能——给出一个期望的变换(如旋转、缩放等),能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换,然后将变换后的基向量填入矩阵。这个技巧得到方泛应用。


看个2D实例:

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从矩阵中抽出基向量p和q

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x基向量变换至上面的p向量,y基向量变换至q向量。

3D中同理。

总结:

  • 方阵的行能被解释为坐标系的基向量。
  • 为了将向量从原坐标系变换到新坐标系,用它乘以一个矩阵。
  • 从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变换是一种线性变换。线性变换保持直线和平行线,但角度、长度、面积或体积可能会被改变。
  • 零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此,方阵所代表的线性变换的原点和原坐标系的原点一致。变换不包含原点。
  • 可以通过想象变换后的坐标系的基向量来想象矩阵。这些基向量在2D中构成“L”型,在3D中构成“三角架”型。用一个盒子及辅助物更有助于理解。


标签: 计算机图形学

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