向量线性补间&位置关系—

向量线性补间&位置关系——结合律

作者：追风剑情发布于：2017-3-13 20:05 分类：Algorithms

向量的结合律可以表示为以下形式：

p=αa+βb

其中α与β为常数。通过更改α与β，就可以由原来的向量a与向量b，得到各种各样的新向量。比如当α+β=1时，令β=t，由α+β=1可得α=1-t，则有

p=(1-t)a+tb

再将其变形，有

p=a+t(b-a)

向量p是以向量a的前端为起点，向向量(b-a)的方向(当t<0时为反方向)延伸的向量。此时的向量p，当t=0时与向量a一致，当t=1时与向量b一致，而当t在0到1的区间内变化时，其变化轨迹就构成了一条连接向量a与向量b的向量，如图

通过这种方式作出的向量p，是将向量a与向量b按t:1-t内分。而等式
p=(1-t)a+tb (0≤t≤1)
就称为向量的内分公式。在游戏开发中，可以将这个公式中的t解释为时间，只要知道位置a与位置b，让物体在两位置间运动，就可以计算出位置a与位置b之间所有点的位置，这称为线性补间，在游戏开发中经常使用。

而对于向量的结合律
p=αa+βb
根据α与β的符号，还可以判定向量p与向量a、b有什么样的位置关系。二维向量的情况下，其位置关系如图：