三角形

作者：追风剑情发布于：2017-3-3 23:17 分类：Algorithms

设e_i为边向量，l_i为e_i的长度。注意e_i、l_i和v_i的对应关系，v_i为相应下标的顶点，它们的关系如下： \begin{flalign} &e_1=v_3-v_2 \quad l_1=|e_1| & \\ &e_2=v_1-v_3 \quad l_2=|e_2| & \\ &e_3=v_2-v_1 \quad l_3=|e_3| & \\ \end{flalign}

正弦公式 \begin{flalign} &\frac{sinθ_1}{l_1}=\frac{sinθ_2}{l_2}=\frac{sinθ_3}{l_3} & \\ \end{flalign}

余弦公式 \begin{flalign} &l_1^2=l_2^2+l_3^2-2l_2l_3cosθ_1 & \\ &l_2^2=l_1^2+l_3^2-2l_1l_3cosθ_2 & \\ &l_3^2=l_1^2+l_2^2-2l_1l_2cosθ_3 & \\ \end{flalign}

周长公式 \begin{flalign} &p=l_1+l_2+l_3 &\\ \end{flalign}

面积公式一：已知底、高

A=(d*h)/2 (d:底，h:高)

面积公式二：(海伦公式) 已知三边长度

\begin{flalign} &s=(l_1+l_2+l_3)/2 \quad (s:半周长) & \\ &A=\sqrt{s(s-l_1)(s-l_2)(s-l_3)} & \\ \end{flalign}

面积公式三：在2D中，已知三角形各顶点的笛卡尔坐标。

基本思想是：求出三角形各边与x轴围成的梯形的有符号面积再相加。事实上，能用同样的思想计算任意多边形的面积。

\begin{flalign} A&=A(e_{1})+A(e_{2})+A(e_{3}) &\\ &=\frac{y_1(x_2-x_3)+y_2(x_3-x_1)+y_3(x_1-x_2)}{2} &\\ \end{flalign} 进一步简化，基本思想是：平移三角形不会改变三角形的面积。因此，我们可以竖直方向上平移三角形，从每个y坐标中减去y₃。