行列式求解二元一次方程组

作者：追风剑情发布于：2025-6-20 22:52 分类：Algorithms

要用行列式（克莱姆法则）解二元一次方程组，步骤如下:

设方程组为：

$ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{aligned} \right. \end{equation} $

1.计算系数行列式 D

$ D= \left| \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{array} \right| =a_1b_2 - a_2b_1 $

2.计算 x 的分子行列式 $D_x$

将常数项 $c_1,c_2$ 替换 x 的系数：

$ D_x= \left| \begin{array}{cc} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \\ \end{array} \right| =c_1b_2 - c_2b_1 $

3.计算 y 的分子行列式 $D_y$

将常数项 $c_1,c_2$ 替换 y 的系数：

$ D_y= \left| \begin{array}{cc} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \\ \end{array} \right| =a_1c_2 - a_2c_1 $

4.求解 x 和 y

$ \begin{aligned} x=\frac{D_x}{D}=\frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, \quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1} \end{aligned} $

注意事项：

若 $D \neq 0$，方程组有唯一解。
若 $D=0$ 且 $D_x$ 或 $D_y$ 不为零，方程组无解。
若 $D=D_x=D_y=0$，方程组有无穷多解。

标签: Algorithms

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