特征值与特征向量

作者：追风剑情发布于：2025-12-24 19:26 分类：Algorithms

n 阶矩阵 A 相似于对角阵的充分必要条件是存在 n 个线性无关的列向量 $\xi_1,\cdots,\xi_n$ 和 n 个数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 使得 $$ A\xi_i=\lambda_i\xi_i, \quad i=1,\cdots,n $$

因此，矩阵的相似对角化问题转化为寻求满足 $A\xi=\lambda\xi$ 的 $\xi$ 和 $\lambda$。尽管 $\xi=0$ 一定满足 $A\xi=\lambda\xi$ ，但由于我们最终还要用这些向量来构造可逆矩阵，所以我们考虑是否存在非零向量 $\xi$ 满足 $A\xi=\lambda\xi$

定义 4.3 设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$，满足 $A\xi=\lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 A 的一个特征值，称 $\xi$ 为 A 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

例如，设 $ A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix} $ ， $ \xi= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} $ ，则 $A\xi=2\xi$，可见，2 是 A 的一个特征值，$\xi$ 是属于特征值 2 的一个特征向量。

如果 $A\xi=\lambda\xi,\xi \neq 0$ 那么对任意 k，有 $$ A(k\xi)=k(A\xi)=k(\lambda\xi)=\lambda(k\xi) $$

因此，当 $k \neq 0$ 时，$k\xi$ 也是 A 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，所以属于特征值 $\lambda$ 的特征向量是不唯一的。

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