特征值与特征向量

作者：追风剑情发布于：2025-12-24 19:26 分类：Algorithms

n 阶矩阵 A 相似于对角阵的充分必要条件是存在 n 个线性无关的列向量 $\xi_1,\cdots,\xi_n$ 和 n 个数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 使得 $$ A\xi_i=\lambda_i\xi_i, \quad i=1,\cdots,n $$

因此，矩阵的相似对角化问题转化为寻求满足 $A\xi=\lambda\xi$ 的 $\xi$ 和 $\lambda$。尽管 $\xi=0$ 一定满足 $A\xi=\lambda\xi$ ，但由于我们最终还要用这些向量来构造可逆矩阵，所以我们考虑是否存在非零向量 $\xi$ 满足 $A\xi=\lambda\xi$

定义 4.3 设 A 为 n 阶矩阵，如果存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$，满足 $A\xi=\lambda\xi$，则称 $\lambda$ 为 A 的一个特征值，称 $\xi$ 为 A 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

例如，设 $ A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1\\ \end{pmatrix} $ ， $ \xi= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} $ ，则 $A\xi=2\xi$，可见，2 是 A 的一个特征值，$\xi$ 是属于特征值 2 的一个特征向量。

如果 $A\xi=\lambda\xi,\xi \neq 0$ 那么对任意 k，有 $$ A(k\xi)=k(A\xi)=k(\lambda\xi)=\lambda(k\xi) $$

因此，当 $k \neq 0$ 时，$k\xi$ 也是 A 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，所以属于特征值 $\lambda$ 的特征向量是不唯一的。

那么如何求 A 的全部特征值与特征向量？下面讨论这一问题。

设 $\lambda_0$ 为 A 的一个特征值，$\xi$ 为属于特征值 $\lambda_0$ 的一个特征向量，即 $A\xi=\lambda_0\xi$，于是 $(\lambda_0E-A)\xi=0,\xi \neq 0$。换句话说，$\xi$ 为 $(\lambda_0E-A)\xi=0$ 的一个非零解，由推论 3.2 可知，$|\lambda_0E-A|=0$

定义 4.4 设 $A=(a_{ij})$ 为 n 阶矩阵，则 $\lambda E-A$ 称为 A 的特征矩阵。 $$ |\lambda E - A|= \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn}\\ \end{vmatrix} $$ 称为 A 的特征多项式，$|\lambda E-A|=0$ 称为 A 的特征方程

根据前文的推导可得以下定理。

定理 4.2 设 A 为 n 阶矩阵，则

（1）$\lambda_0$ 为 A 的特征值当且仅当 $\lambda_0$ 是 A 的特征多项式的一个根。

（2）$\xi$ 为 A 的属于特征值 $\lambda_0$ 的一个特征向量当且仅当 $\xi$ 是齐次线性方程组 $(\lambda_0 E - A)x=0$ 的非零解。

由定理 4.2 可知，求特征值与特征向量的方法为：

第一步，计算 A 的特征多项式 $|\lambda E - A|$

第二步，计算 $|\lambda E - A|=0$ 的全部根，这些根就是 A 的全部特征值

第三步，对每一个特征值 $\lambda_i,\; i=1,2,\cdots,n$，求齐次线性方程组 $|\lambda E - A|=0$ 的一个基础解系 $\eta_1,\cdots,\eta_t$，于是 A 的属于 $\lambda_i$ 的全部特征向量为 $k_1\eta_1+\cdots+k_t\eta_t$，其中 $k_1,\cdots,k_t$ 为任意不全为零的数。

这里，我们强调两点，其一是由定义 4.3 知，零向量不是特征向量；其二是实矩阵未必有实的特征值。

设矩阵 $ A= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{pmatrix} $ ，那么从几何意义上来看，$A\xi$ 表示平面上把 $\xi$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{4}$ 得到的向量。因此，当 $\xi \neq 0$ 时，$A\xi$ 与 $\xi$ 不共线，换言之，不存在实数 $\lambda$ 使得 $A\xi=\lambda \xi$，所以 A 没有实特征值。事实上，我们也可以从 A 的特征多项式 $\lambda E - A = \lambda^2 - \sqrt{2}\lambda+1$ 看出，$|\lambda E - A|=0$ 没有实根。

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