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行列式的性质

作者：追风剑情 发布于：2025-6-29 15:19 分类：Algorithms

  对于一个 n 阶矩阵 A，如果将其行列式记为 D，即 D=|A|，则 $A^T$ 的行列式也称为 D 的转置，记为 $D^T$，即 $D^T=|A^T|$

性质 1.6 n 阶矩阵 A 与其转置矩阵 $A^T$ 的行列式相等，即 $|A|=|A^T|$

这一性质说明，行列式的行与列的地位是平等的。对“行”有的性质，对“列”也有对应的性质。

由矩阵初等变换知，任一 n 阶矩阵可经过初等变换化成阶梯形矩阵。再由上节的例1.18和1.19知，三角形矩阵的行列式等于其主对角线元素的乘积。那么自然要问在矩阵的初等变换下，行列式的值会发生怎样的变化。

性质 1.7 设 A 为 n 阶矩阵，$n\ge2$，若对 A 进行一次对换变换得到 B，则 |B|=-|A|

推论 1.2 若行列式有两行（列）的元素相同，则此行列式的值为零。

证明 若 A 的第 i 行（列）与第 j 行（列）相同，则交换 A 的第 i 行（列）与第 j 行（列），所得结果仍为 A。由性质 1.7 可知 |A|=-|A|，故 |A|=0

性质 1.8（线性性质）（1）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数 k，等于用数 k 乘以此行列式，即 $$ \begin{flalign} \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| =k \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} \tag{1.6.4} $$ $$ \begin{flalign} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & ka_{1i} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & ka_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & ka_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| =k \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1i} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} \tag{1.6.5} $$

（2）行列式的某一行（列）中的元素都是两数之和，则此行列式可以按该行（列）拆分为两个行列式之和，即 $$ \begin{flalign} \left| \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+b_{i1} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} \tag{1.6.6} $$ $$ \begin{flalign} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1i}+b_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i}+b_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni}+b_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & b_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & b_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} \tag{1.6.7} $$

证明（1）首先，根据行列式的定义可得 $$ \begin{flalign} &\left| \begin{array}{cccc} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = ka_{11}A_{11}+ka_{12}A_{12}+\cdots+ka_{1n}A_{1n} \\ &=k(a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}) =k \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} $$ 于是由性质1.7可得 $$ \begin{flalign} &\left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_i} - \left| \begin{array}{cccc} ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \\ &=-k \left| \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| =k \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} $$ 再由(1.6.4)式和性质1.6即可得到 $$ \begin{flalign} & \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & ka_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & ka_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & ka_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ ka_{1i} & ka_{2i} & \cdots & ka_{ni} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \\ &=k \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1i} & a_{2i} & \cdots & a_{ni} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| =k \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} $$

（2）和（1）类似，先根据行列式的定义可得 $$ \begin{flalign} &\left| \begin{array}{cccc} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \\[1em] &=(a_{11}+b_{11})A_{11}+(a_{12}+b_{12})A_{12}+\cdots+(a_{1n}+b_{1n})A_{1n} \\[1em] &=(a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n})+(b_{11}A_{11}+b_{12}A_{12}+\cdots+b_{1n}A_{1n}) \\[1em] &= \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| \end{flalign} $$

然后分别仿照(1.6.4)和(1.6.5)的证明就可以得到(1.6.6)和(1.6.7)。

公式(1.6.4)和(1.6.5)表明，行列式中的某一行（列）元素的公因数可以提到行列式的外面。因此，对于 n 阶矩阵 A 有 $|kA|=k^n|A|$。特别地，$|-A|=(-1)^n|A|$

由性质1.8(1)和推论1.2可得以下推论。

推论 1.3 若行列式有两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值等于零。

利用性质1.8(2)和推论1.3可以证明以下性质。

性质 1.9 将行列式的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）去，行列式的值不变，即 $$ \begin{flalign} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+ka_{j1} & a_{i2}+ka_{j2} & \cdots & a_{in}+ka_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \end{flalign} $$ $$ \begin{flalign} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i}+ka_{1j} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i}+ka_{2j} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni}+ka_{nj} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1i} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2i} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \end{flalign} $$

利用性质1.9，可以把一个 n 阶行列式通过倍加变换转化为上（下）三角行列式，然后利用例1.18或例1.19计算其值。

例 1.20 用适当的倍加变换$r_i+kr_j$把 $ \begin{flalign} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} \end{flalign} $ 化为上三角行列式，并计算其值。

解  $ \begin{flalign} \begin{vmatrix} 2 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{r_1-r_4} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{\substack{r_4-r_1 \\ r_3-r_1}} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -2 & 1 \\ \end{vmatrix} \end{flalign} $
$ \rule{0pt}{40pt} \begin{flalign} \qquad \xlongequal{\substack{r_4+2r_2 \\ r_3+2r_2}} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{r_4-2r_3} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ \end{vmatrix} = 6 \end{flalign} $

仿照例1.20中的做法，可以用适当的倍加变换$r_i+kr_j$把任意 n 阶行列式化成上三角行列式，而且在此过程中每一步都不改变行列式的值。

例 1.21 设 $A=(a_{ij})_{m \times m}$，$B=(b_{ij})_{n \times n}$，$C=(c_{ij})_{m \times n}$。证明 $$ \begin{flalign} \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} \tag{1.6.8} \end{flalign} $$

证明 先分别用适当的倍加变换$r_i+kr_j$把|A|和|B|化成上三角行列式，即 $$ \begin{flalign} |A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1m} \\ 0 & p_{22} & \cdots & p_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & p_{mm} \\ \end{vmatrix} = p_{11}p_{22}\cdots p_{mm} \end{flalign} $$ $$ \begin{flalign} |B|= \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1n} \\ 0 & q_{22} & \cdots & q_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & q_{nn} \\ \end{vmatrix} = q_{11}q_{22}\cdots q_{nn} \end{flalign} $$

再把上述对 |A| 和 |B| 施加的倍加变换分别施加到 m+n 阶行列式 $ \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \\ \end{vmatrix} $ 的前 m 行和后 n 行即得 $$ \begin{flalign} \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \\ \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} & c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mm} & c_{m1} & \cdots & c_{mn} \\ 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{n1} & \cdots & b_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} p_{11} & \cdots & p_{1m} & c^{\prime}_{11} & \cdots & c^{\prime}_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & p_{mm} & c^{\prime}_{m1} & \cdots & c^{\prime}_{mn} \\ 0 & \cdots & 0 & q_{11} & \cdots & q_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & q_{nn} \\ \end{vmatrix} \\ &=(p_{11} \cdots p_{mm})(q_{11} \cdots q_{nn})=|A||B| \end{flalign} $$ 对于矩阵 $A_{m \times m}$，$B_{n \times n}$，$C_{n \times m}$，用类似的方法可以证明 $$ \begin{flalign} \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{vmatrix} = |A||B| \tag{1.6.9} \end{flalign} $$

性质 1.10（行列式的乘法定理）设 A 与 B 都是 n 阶矩阵，则 $$ |AB|=|A||B| \tag{1.6.10} $$

证明 设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$，$B=(b_{ij})_{n \times n}$，构造 2n 阶行列式 $ D= \begin{vmatrix} B & -E \\ O & A \\ \end{vmatrix} $， 由（1.6.8）式可知 D=|A||B|。

令 $C=(c_{ij})_{n \times n}=AB$，那么 $c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$，且 $$ \begin{flalign} D= \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} & 0 & \cdots & -1 \\ 0 & \cdots & 0 & a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \underset{\quad i=1,2,\cdots,n\quad}{\xlongequal{r_{n+i} + \sum_{j=1}^{n}a_{ij}r_j}} \begin{vmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} & 0 & \cdots & -1 \\ c_{11} & \cdots & c_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} & 0 & \cdots & 0 \\ \end{vmatrix} \\[1em] \underset{i=1,2,\cdots,n}{\xlongequal{r_i \leftrightarrow r_{n+i}}}(-1)^n \begin{vmatrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{11} & \cdots & b_{1n} & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} & 0 & \cdots & -1 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{(1.6.9)} (-1)^n(-1)^n|C|=|C| \end{flalign} $$ 于是可得 |AB|=|A||B|

一般地，用数学归纳法可以证明，若 $A_1,\cdots,A_s$ 均为 n 阶矩阵，则 $$ |A_1\cdots A_s|=|A_1|\cdots|A_s| $$ 由性质1.6和定义1.10可得 n 阶行列式按第1列的展开式，即 $$ \begin{flalign} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+\cdots+a_{n1}A_{n1} \tag{1.6.11} \end{flalign} $$ 那么自然地问行列式能按第 i 行或第 j 列展开吗？事实上我们有如下定理。

定理 1.18 设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 为 n 阶矩阵，则 $$ |A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \tag{1.6.12} $$ $$ |A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \tag{1.6.13} $$ 其中(1.6.12)式称为 n 阶行列式 |A| 按第 i 行的展开式。(1.6.13)式称为 n 阶行列式 |A| 按第 j 列的展开式。

证明 下面证明(1.6.12)式。
当 i=1 时，根据定义无需再证。
当 i>1 时，把 |A| 的第 i 行依次和上边相邻各行交换（共交换 i-1 次）得 $$ \begin{flalign} |A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ a_{i+1,1} & a_{i+1,2} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} =(-1)^{i-1} \begin{vmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & a_{i-1,2} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & a_{i+1,2} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} \end{flalign} $$ 令 $$ \begin{flalign} \begin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & a_{i-1,2} & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & a_{i+1,2} & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ b_{i+1,1} & b_{i+1,2} & \cdots & b_{i+1,n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{pmatrix} =B \end{flalign} $$ 并且把 B 的第一行元素 $b_{1j}$ 的余子式记为 $N_{1j}$，则 $N_{1j}$ 也就是 A 的第 i 行元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij},j=1,2,\cdots,n$

把 |B| 按第一行展开得 $$ |B|=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{1j}(-1)^{1+j}N_{1j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{1+j}M_{ij} $$ 于是可得 $$ \begin{flalign} |A|&=(-1)^{i-1}|B|=(-1)^{i-1}\left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{1+j}M_{ij} \right) \\ &=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} \end{flalign} $$ 利用性质1.6和(1.6.12)式可以证明(1.6.13)式。

对于 n 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$，构造矩阵 $B=(b_{ij})_{n \times n}$ 如下：

$$ \begin{flalign} B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{j1} & b_{j2} & \cdots & b_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{flalign} $$

由推论1.2可知 |B|=0。另一方面，B 的第 j 行元素 $b_{jk}$ 的余子式 $N_{jk}$ 就等于 A 的第 j 行元素 $a_{jk}$ 的余子式 $M_{jk}$。因而根据(1.6.12)式将 |B| 按 j 行展开得 $$ |B|=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{jk}(-1)^{j+k}N_{jk}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(-1)^{j+k}M_{jk}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk} $$ 故 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=0$。这就是说，当 $i \neq j$ 时，用 |A| 的第 i 行各元素与第 j 行对应的元素的代数余子式乘积之和为零。再根据性质1.6可以证明，用 |A| 的第 i 列各元素与第 j 列对应元素的代数余子式乘积之和也为零。

于是有如下定理。

定理 1.9 设 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 为 n 阶矩阵，$1 \le i \neq j \le n$，则行列式 D=|A| 的第 i 行（列）各元素与第 j 行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 $$ a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=0 \tag{1.6.14} $$ $$ a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=0 \tag{1.6.15} $$

利用克罗内克(Kronecker)符号 $ \begin{equation} \delta_{ij}= \left\{ \begin{aligned} 1,\quad i=j \\ 0,\quad i \neq j \end{aligned} \right. \end{equation} $ 综合(1.6.12)~(1.6.15)四式，可以得到关于行列式的代数余子式的如下重要结论： $$ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=\delta_{ij}D,\qquad \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=\delta_{ij}D \tag{1.6.16} $$

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