行列式的定义

作者：追风剑情发布于：2024-8-19 21:07 分类：Algorithms

例 1.16 中的$d=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$决定了A的可逆性。可见它是对应于方阵A的一个重要的数值。人们称之为A的行列式，并用如下记号来表示 $$ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| $$ 一般地，设n阶矩阵 $$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ 把记号 $$ \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| $$ 称为一个n阶行列式或方阵A的行列式，记作D，D_n，detA或|A|。这个行列式表示一个与A相联系的数，把这个数称为此行列式的值。行列式通常指所对应的行列式的值。

下面通过对2阶行列式的分析，从数值上给出n阶行列式|A|的定义。为此，先定义|A|的元素$a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)$的余子式与代数余子式。

定义 1.9 把 n 阶行列式 |A| 中的元素 $a_{ij}$ 所在的第 i 行与第 j 列删去后，剩下的 n-1 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。将 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$。有时也把 $M_{ij}$ 叫做方阵 A 中元素 $a_{ij}$ 的余子式，把 $A_{ij}$ 叫做方阵 A 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

如果我们定义 1 阶矩阵 (a) 的行列式为 a，对于 2 阶行列式 $ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| $ ，第 1 行元素 $a_{11}，a_{12}$ 的代数余子式分别是 $$ A_{11}=(-1)^{1+1}a_{22}，\quad A_{12}=(-1)^{1+2}a_{21} $$ 这样，2 阶行列式 $D_2$ 可写成 $ \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} $

此式表明，2 阶行列式的值等于它的第 1 行元素 $a_{11}，a_{12}$ 与对应的代数余子式 $A_{11}，A_{12}$ 的乘积之和。这种用低阶行列式定义高一阶行列式的方法可以推广到一搬的情形。按照这种思想，我们给出 n 阶矩阵的 n 阶行列式的归纳法定义。

定义 1.10 n 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 的行列式是由 $n^2$ 个元素 $a_{ij} \; (i,j=1,2,\cdots,n)$ 所决定的一个数。当 n=1 时，定义 1 阶行列式 $|a_{11}|=a_{11}$。值得注意的是，1 阶行列式 $|a_{11}|=a_{11}$ 不能与数的绝对值混淆。

假设 n-1 阶行列式已经定义，则定义 n 阶行列式 $$ \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \quad & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right| = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n} \tag{1.6.1} $$ (1.6.1)式称为 n 阶行列式 detA 按第1行的展开式。

当 n=3 时， $ |A|= \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| $ 的第一行中每个元素的代数余子式为 $$ \begin{aligned} A_{11}&=(-1)^{1+1} \left| \begin{array}{cccc} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \\ \end{array} \right| =a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}, \\ A_{12}&=(-1)^{1+2} \left| \begin{array}{cccc} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \\ \end{array} \right| =a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}, \\ A_{13}&=(-1)^{1+3} \left| \begin{array}{cccc} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{array} \right| =a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}, \\ \end{aligned} $$ 因而 $$ \begin{flalign} |A|&=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}& \\ &=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) + a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) &\\ &=a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} \end{flalign} $$

注意到上式中 $a_{11}a_{22}a_{33}, \quad a_{12}a_{23}a_{31}, \quad a_{13}a_{21}a_{32}$ 这三项前面带正号，$a_{11}a_{23}a_{32}, \quad a_{12}a_{21}a_{33}, \quad a_{13}a_{22}a_{31}$ 这三项前面带负号。为了便于记忆。我们把每个带正号的项中三元素用实线连接起来；把每个带负号的项中三元素用虚线连接起来，如下图所示。

于是，该行列式的值就等于三条实线相连的三元素乘积之和减去三条虚线相连的三元素乘积之和。这种计算方法称为对角线法则。二阶行列式也可以用对角线法则来计算。如下图所示。

该行列式的值就等于实线相连的二元素之积减去虚线相连的二元素之积。但需要特别注意的是，四阶以及四阶以上的行列式没有类似的对角线法则。

由 n 阶行列式的定义，通过逐次迭代，可得到 n 阶行列式的展开式。该展开式具有如下特点：

（1）n 阶行列式展开式中有 n! 项。

（2）每一项均是 A 中不同行不同列各元素之积，即 $a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n}$，其中 $i_1i_2\cdots i_n$ 为 $1,\cdots,n$ 的一个 n 元排列。且每一项前有正负号，正负号取决于 $i_1i_2\cdots i_n$ 这个排列的逆序数。有兴趣的读者可参考相关教材。

例 1.18 证明 n 阶行列式 $$ \begin{flalign} D_n = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \end{flalign} \tag{1.6.2} $$

证明（1）当 n=1 时，(1.6.2)显然成立。
（2）当 n>1 时，假设对一切形如(1.6.2)式的 n=k-1 阶行列式均等于主对角线元素乘积，则 $$ D_k=a_{11}A_{11}+0A_{12}+\cdots+0A_{1k}=a_{11}A_{11}=a_{11}(-1)^{1+1}M_{11}=a_{11}M_{11} $$ 由归纳假设知 $$ \begin{flalign} M_{11} = \left| \begin{array}{cccc} a_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{32} & a_{33} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k2} & a_{k3} & \cdots & a_{kk} \end{array} \right| =a_{22}a_{33}\cdots a_{kk} \end{flalign} $$ 故 $D_k=a_{11}a_{22}\cdots a_{kk}$

由数学归纳法原理可知，(1.6.2)对于任意的正整数 n 都成立。

(1.6.2)式中的这个行列式叫做下三角行列式。它的特点是：当 i<j 时，$a_{ij}=0 \;(i,j=1,2,\cdots,n)$。(1.6.2)式表明，下三角行列式等于其主对角线上诸元素的乘积。类似地， $$ \begin{flalign} \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \end{flalign} $$ 叫做上三角行列式。

例 1.19 证明 n 阶上三角行列式的值等于其主对角线上诸元素的乘积，即 $$ \begin{flalign} D_{n} = \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \end{flalign} \tag{1.6.3} $$

证明（1）当 n=1 时，(1.6.3)显然成立。
（2）当 n>1 时，假设对一切形如(1.6.3)式的 n=k-1 阶行列式均等于主对角线元素乘积，则 $$ D_k=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1k}A_{1k} $$ 注意到，$M_{12},\cdots,M_{1k}$ 均为 k-1 阶上三角行列式，且主对角线上有元素为0。由归纳假设可知 $M_{12}=\cdots=M_{1k}=0$，因而 $A_{12}=\cdots=A_{1k}=0$。同时由归纳假设可知 $A_{11}=M_{11}=a_{22}\cdots a_{kk}$。故 $D_k=a_{11}A_{11}=a_{11}a_{22}\cdots a_{kk}$。

由数学归纳法原理可知，(1.6.3)对于任意的正整数 n 都成立。

一般来说，利用行列式的定义计算高阶行列式时，计算量相当大。为简化行列式的计算，我们需要讨论行列式的性质。

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