高等数学——定积分

作者:追风剑情 发布于:2021-9-19 13:42 分类:Algorithms

引例:曲边梯形

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由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的图形AabB称为曲边梯形

定积分可用来求曲边梯形的面积,而在不同的场景下曲边梯形的面积又有不同的含义。例如:

1、将f(x)看作变速曲线,那么曲边梯形的面积就等于变速直线运动的路程。
2、将f(x)看作变力曲线,那么曲边梯形的面积就等于变力沿直线所做的功。

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注1 从定积分的定义可以看出,5555.png是否存在以及存在时等于的极限值,与对区间[a, b]的分法以及在小区间[xi-1, xi]上ζi的取法均是无关的;

注2 定积分的概念与导数、微分概念不同,定积分所涉及的是函数f(x)在整个区间[a, b]上的一个整体性质,即定积分的值与函数f(x)在[a, b]中的每个“局部”都有关;

注3 定积分的数值与积分变量记号无关,只与函数f(x)本身及区间[a, b]有关,与积分变量用什么符号表示无关,即

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根据定积分的定义,从引入定积分的三个例子可以看到:

由曲线y=f(x) (f(x)≥0)及直线 x=a, x=b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积为
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作变速直线运动的质点,速度为v(t),从 t=T1 到 t=T2 一段时间经过的路程为
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变力F(x)在某一直线距离[a, b]所做的功为

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从这个例子可以看到,直接用定义计算定积分是麻烦的,以后我们将有较为简单的方法。另一方面,定积分是一种特殊和式的极限,反过来也可以将某些特殊和式极限表示为定积分。

四、定积分的性质

为了进一步讨论定积分的理论与计算,先介绍定积分的基本性质。在性质中总是假设定积分都是存在的,不再一一申明。另外,对定积分我们还要作以下两条补充规定:
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由(2)可知,交换定积分的上下限时,定积分的绝对值不变而符号相反。

性质 1 两个函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差),即

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性质 2  被积函数的常数因子可以提到积分号外,即

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性质 3  如果在区间[a, b]上f(x)≡1,则

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性质 4 (区间可加性)若把积分区间[a, b]分成两部分[a, c]与[c, b],则有

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因为函数f(x)在区间[a, b]上可积,所以不论把区间[a, b]怎样分,积分和式的极限总是不变的。因此,我们在分区间时,永远把c取作一个分点,那么,[a, b]上的和式等于[a, c]上的和式加上[c, b]上的和式,记为

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当λ→0时,上式两端同时取极限,再由定积分的定义,即得

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顺便说明一下,当点c在区间[a, b]之外时,即c<a<b或a<b<c时,上式仍然成立,例如,当a<b<c时,由于

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性质 5 如果在区间[a, b]上,f(x)≥0,则

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推论 1 如果在区间[a, b]上,f(x)≤g(x),则

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标签: Algorithms

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