B-样条曲线
作者:追风剑情 发布于:2019-4-16 12:17 分类:Algorithms
B样条曲线的定义
给定n+1个控制点P0,P1,...Pn,它们所确定的k阶B样条曲线是
式中,基函数Ni,k(u)递归定义如下:
式中,u0,u1,...,un+k是一个非递减的序列,称为节点;(u0,u1,...,un+k)称为节点向量。定义中可能出现0/0,这时约定为0。
节点向量(u0,u1,...,un+k)所包含的n+k个区间并非都在该曲线的定义域内,其中两端各k-1个节点区间,不能作为B样条曲线的定义区间。这是因为n+1个顶点中最前的k个顶点pi,(i=0,1,...,k-1)定义了样条曲线的首段曲线,其定义区间为u∈[uk-1,uk);随后的k个顶点Pi,(i=1,2,...,k)定义了第二段曲线,其定义区间为u∈[uk,uk+1);...;最后的k个顶点Pi,(i=n-k+1,n-k+2,...,n)定义了末段曲线,其定义区间为u∈[un,un+1]。于是,得到k阶B样条曲线的定义域为u∈[uk-1,un+1]。共含有n-k+2个节点区间(包括零长度的节点区间)。若其中不含重节点,则对应B样条曲线包含n-k+2段。也可看到,节点向量两侧各k-1个节点区间上的那些B样条基函数因其权性不成立,不能构成基函数。
由k阶B样条曲线的递归定义可以看出:
1)对n+1个控制点,曲线由n+1个混合函数所描述。
2)每个混合函数Ni,k(u)定义在u取值范围的k个子区间,以节点向量值ui为起点。
3)参数u的取值范围由n+k+1个给定节点向量值分成n+k个子区间。
4)节点向量(u0,u1,...,un+k)所生成的B样条曲线仅定义在从节点值uk-1到节点值un+1的区间上。
5)任一控制点可以影响最多k个曲线段的形状。
6)P(u)是分段参数多项式,P(u)在每一区间u∈[ui,ui+1],(k-1≤i≤n)上都是次数不高于k-1的多项式。
从B样条曲线的这个递归定义可以看出,曲线与给定的阶数k及节点向量都有关系。就是说,即使k相同,选择不同的节点向量,也能得到不同的曲线。
任意的一阶B样条曲线就是控制点本身,可以看作是零次多项式。例如,n=2,k=1,控制点是P0,P1,P2,这样应选择参数节点n+k+1=4个,设节点向量是(u0,u1,u2,u3),按照定义,可写出三个基函数:
借用网上的一张图片来理解控制点
P0,P1,P2,P3为控制点
借用网上的一张图来理解支撑区间与节点向量
[0, 2]、[1, 3]为两条二次样条曲线的支撑区间。(0, 1, 2, 3)为节点向量。
示例
using System; using System.Collections.Generic; using System.ComponentModel; using System.Data; using System.Drawing; using System.Linq; using System.Text; using System.Windows.Forms; namespace WindowsFormsAppB { public partial class Form1 : Form { public Form1() { InitializeComponent(); } public void PaintControlPoint(PaintEventArgs e, BSpline.Point[] CP) { Graphics g = e.Graphics; //绘制控制点 Pen dotPen = new Pen(Color.Red, 2); for (int i = 0; i < CP.Length; i++) { g.DrawEllipse(dotPen, (float)CP[i].x, (float)CP[i].y, 3, 3); } //绘制控制点连线 Pen linePen = new Pen(Color.Red, 1); for (int i = 1; i < CP.Length; i++) { g.DrawLine(linePen, (float)CP[i].x, (float)CP[i].y, (float)CP[i-1].x, (float)CP[i-1].y); } } public void PaintCurvePoints(PaintEventArgs e, BSpline.Point[] pts) { Graphics g = e.Graphics; Pen myPen = new Pen(Color.Blue, 2); for (int i = 0; i < pts.Length; i++) { g.DrawEllipse(myPen, (float)pts[i].x, (float)pts[i].y, 1, 1); } } public void PaintCurveLerp(PaintEventArgs e, BSpline.Point[] CP, double[] knot, double u) { BSpline.Point tp = BSpline.Lerp(CP, knot, u); Graphics g = e.Graphics; Pen myPen = new Pen(Color.Green, 2); g.DrawEllipse(myPen, (float)tp.x, (float)tp.y, 1, 1); } private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e) { int k = 3; //控制点 BSpline.Point[] CP = { //加个重复节点,让曲线经过起始控制点 new BSpline.Point{ x=0, y=100}, new BSpline.Point{ x=0, y=100}, new BSpline.Point{ x=100, y=0}, new BSpline.Point{ x=200, y=100}, new BSpline.Point{ x=300, y=0}, new BSpline.Point{ x=400, y=100}, //加个重复节点,让曲线经过终止控制点 new BSpline.Point{ x=400, y=100} }; //节点向量 double[] knot = { 0, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 }; //一次性计算出所有插值点 BSpline.Point[] pts = BSpline.SplinePoints(CP, CP.Length - 1, knot, 100); PaintCurvePoints(e, pts); //控制点 BSpline.Point[] CP1 = { new BSpline.Point{ x=0, y=300}, new BSpline.Point{ x=0, y=300}, new BSpline.Point{ x=100, y=200}, new BSpline.Point{ x=200, y=300}, new BSpline.Point{ x=300, y=200}, new BSpline.Point{ x=400, y=300}, new BSpline.Point{ x=400, y=300} }; //------end //用插值方式绘制曲线 double u0 = knot[k - 1];//起始插值点 for (double u=u0; u<=700; u+=5) { PaintCurveLerp(e, CP1, knot, u); } //------end //绘制控制点 PaintControlPoint(e, CP); PaintControlPoint(e, CP1); } } /// <summary> /// B-样条曲线 /// </summary> public class BSpline { private const int k = 3; //三次B-样条曲线 /// <summary> /// 插值方法 /// </summary> /// <param name="CP">控制点坐标</param> /// <param name="knot">曲线结点向量</param> /// <param name="u">插值点</param> /// <returns></returns> public static Point Lerp(Point[] CP, double[] knot, double u) { int n = CP.Length; int i = 0; while ((i < n) && (u > knot[i + 1])) i++; return Deboor(CP, i, k, knot, u); } /// <summary> /// 计算曲线离散点序列 /// </summary> /// <param name="CP">控制点坐标</param> /// <param name="n">控制点个数</param> /// <param name="k">曲线的阶数</param> /// <param name="knot">曲线结点向量</param> /// <param name="npoints">要计算出的离散点个数</param> /// <returns>采用德布尔(de Boor)算法生成的曲线上的离散点序列pts</returns> public static Point[] SplinePoints(Point[] CP, int n, double[] knot, int npoints) { Point[] pts = new Point[npoints]; double u, delt; int i, j; //在每个节点区间,将参数t变化区间进行npoints等分 delt = (knot[n + 1] - knot[k - 1]) / (double)npoints; i = k - 1; u = knot[k-1]; for(j=0; j<npoints; j++) { //确定参数u所在的节点区间[ui, ui+1) while ((i < n) && (u > knot[i + 1])) i++; //在每个节点区间,分别求出npoints个离散点pts的坐标 pts[j] = Deboor(CP, i, k, knot, u); u += delt; } return pts; } /// <summary> /// 用德布尔(de Boor)算法计算出插值点u的坐标 /// 结点数(m)=控制点数(n)+次数(p)+1 /// 举例: 14个控制点定义的6次B-样条曲线,其节点的数目是21=14+6+1 /// </summary> /// <param name="CP">控制点坐标</param> /// <param name="i">第i个曲线段, i∈[0, n+k-l]</param> /// <param name="k">曲线的阶数</param> /// <param name="knot">曲线结点向量</param> /// <param name="u">变化范围为[ui, ui+1)</param> /// <returns>曲线在参数为t的坐标值</returns> public static Point Deboor(Point[] CP, int i, int k, double[] knot, double u) { double denom, alpha; Point[] p = new Point[k]; const double epsilon = 0.0005; int index = 0; //p[]存放要参与计算的控制点 for (int l = 0; l < k; l++) { index = i - k + l + 1; if (index < 0) p[l] = CP[0].Clone(); else if (index >= CP.Length) p[l] = CP[CP.Length - 1].Clone(); else p[l] = CP[index].Clone(); } //进行k-1次循环,即进行k-1级递推 for(int r=1; r<k; r++) { //在每一级递推中,按照递减的顺序对控制顶点进行更新 //按递减顺序更新,是为了确保已更新的控制顶点 //不会对未更新的控制顶点的计算产生影响 for(int m=k-1; m>=r; m--) { int j = m + i - k + 1; denom = knot[j + k - r] - knot[j];//分母为前一阶曲线的支撑区间 if (Math.Abs(denom) < epsilon) alpha = 0; else alpha = (u - knot[j]) / denom; //(1 - 比例因子) * 控制点坐标 + 比例因子 * 控制点坐标 p[m].x = (1 - alpha) * p[m - 1].x + alpha * p[m].x; p[m].y = (1 - alpha) * p[m - 1].y + alpha * p[m].y; } } return p[k-1]; } #region Point public class Point { public double x; public double y; public double z; public Point Clone() { Point p = new Point(); p.x = x; p.y = y; p.z = z; return p; } } #endregion } }
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标签: Algorithms
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