相似矩阵

作者：追风剑情发布于：2025-3-20 13:22 分类：Algorithms

设数列$\{x_n\}，\{y_n\}$满足 $ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x_n&=3x_{n-1} - y_{n-1} \\ y_n&=-x_{n-1} + 3y_{n-1} \end{aligned} \right. \end{equation} $ 其中 $x_0=y_0=1$。我们来求 $x_n，y_n$。将上述公式转化成矩阵形式 $$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A} \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \\ \end{pmatrix} $$ 其中 $ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} $ 。利用此递推公式得 $$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A}^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$ 因此，求 $\mathbf{A}^n$ 就是解决问题的关键。如果存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{D}$。并且 $\mathbf{D}^n$ 容易计算，那么 $$ \mathbf{A}^n = (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1})^n = (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}) \cdots (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}) = \mathbf{P}\mathbf{D}^n\mathbf{P}^{-1} $$ 于是 $\mathbf{A}^n$ 就容易计算了。为此我们引出下述概念。

定义 4.1 设 $\mathbf{A}，\mathbf{B}$ 为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$，则称 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 是相似的，记作 $\mathbf{A} \sim \mathbf{B}$。

从几何角度理解，可以将 P 看作是旋转矩阵，A 经旋转矩阵 P 变换后得到 B。

例 4.1 设矩阵 $ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & a \\ 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix} $ ， $ \mathbf{B}= \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ a & \lambda_1 \\ \end{pmatrix} $ 证明 A 与 B 相似。特别的， $ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \\ \end{pmatrix} $ 与 $ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda \\ \end{pmatrix} $ 相似。

证明比较 A，B 可知，A 可以经过初等变换化成 B。 $$ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & a \\ 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 0 & \lambda_2 \\ \lambda_1 & a \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{c_1 \leftrightarrow c_2} \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ a & \lambda_1 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{B} $$ 记 $ P= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $ ， $ P=P^{-1} $ ，那么 $B=PAP=P^{-1}AP$。故 A 与 B 相似。

容易看到，矩阵的相似关系具有如下性质。

性质 4.1 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵。

（1）反身性：$A \sim A$；
（2）对称性：如果$A \sim B$，那么$B \sim A$;
（3）传递性：如果 $A \sim B$，$B \sim C$，那么$A \sim C$。

可见，矩阵的相似关系是一种等价关系，相似的矩阵还具有如下性质。

性质 4.2 设 A 与 B 相似，f(x) 是一个多项式，那么 f(A) 与 f(B) 相似。

证明设 $f(x)=a_nx^n+ \cdots + a_1x + a_0$，那么 $f(A)=a_nA^n+ \cdots + a_1A+a_0E$。
由于 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，于是 $P^{-1}A^sP=B^s$。
故
$$ f(B)=\displaystyle\sum_{s=0}^{n}a_sB^s =\displaystyle\sum_{s=0}^{n}a_s(P^{-1}A^sP) =P^{-1}\displaystyle\sum_{s=0}^{n}a_sA^sP =P^{-1}f(A)P $$ 可见，$f(A) \sim f(B)$。

性质 4.3 相似矩阵的行列式相等。

证明设 $A \sim B$，则存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，从而 A 与 B 等价。因此 r(A)=r(B)。

n 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 的主对角线上元素之和称为 A 的迹，记为 tr(A)，即 $tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$。

矩阵的迹有如下性质。

性质 4.5 设 A，B 均为n阶矩阵，k为任意数，则
（1）tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
（2）tr(kA)=ktr(A)
（3）tr(AB)=tr(BA)

证明容易证明前二式，这里只证第三式，记 $$ A=(a_{ij})_{n \times n}，B=(b_{ij})_{n \times n}，AB=(c_{ij})_{n \times n}，BA=(d_{ij})_{n \times n} $$ 则 $$ tr(AB)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}c_{ii}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{ki}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_{ki}a_{ik}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}d_{kk}=tr(BA) $$

性质 4.6 相似矩阵有相同的迹。

证明设 $A \sim B$，则存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$。于是 $$ tr(B)=tr(P^{-1}AP)=tr(P^{-1}(AP))=tr((AP)P^{-1})=tr(A) $$

注意到对角矩阵的幂很容易计算，事实上， $$ \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \\ \end{pmatrix}^m = \begin{pmatrix} \lambda_1^m & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n^m \\ \end{pmatrix} $$ 因此，若A相似于对角矩阵，我们就很容易计算$A^m$。这样一个自然的问题是任一n阶矩阵均相似于对角矩阵吗？我们有如下定理。

定理 4.1 n 阶矩阵 A 相似于对角阵的充分必要条件是存在 n 个线性无关的列向量 $\xi_1,\cdots,\xi_n$ 和 n 个数 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 使得 $A\xi_i=\lambda_i\xi_i \: (i=1,\cdots,n)$。此时，令
$ P=(\xi_1,\cdots,\xi_n),\: \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \\ \end{pmatrix} $ ，则 $P^{-1}AP=\Lambda$。

证明（必要性）若 A 相似于对角阵 $ \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \\ \end{pmatrix} $ ，那么存在可逆阵 P，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$，即 $AP=P\Lambda$。令 $P=(\xi_1,\cdots,\xi_n)$，则 $$ A(\xi_1,\cdots,\xi_n)=(\xi_1,\cdots,\xi_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \\ \end{pmatrix} $$ 即 $$ (A\xi_1,\cdots,A\xi_n)=(\lambda_1\xi_1,\cdots,\lambda_n\xi_n) $$ 于是 $A\xi_i=\lambda_i\xi_i, \: i=1,\cdots,n$。因为 P 为可逆矩阵，故 $\xi_1,\cdots,\xi_n$ 线性无关。

（充分性）若存在 n 个线性无关的列向量 $\xi_1,\cdots,\xi_n$ 满足 $$ A\xi_i=\lambda_i\xi_i, \quad i=1,\cdots,n $$ 令 $P=(\xi_1,\cdots,\xi_n)$，则 P 为可逆矩阵，且 $$ AP=(A\xi_1,\cdots,A\xi_n)=(\lambda_1\xi_1,\cdots,\lambda_n\xi_n)=P\Lambda $$ 由此可得 $$ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \\ \end{pmatrix} $$ 即 A 相似于对角阵。

定义 4.2 如果 A 相似于对角阵 $\Lambda$，则称 A 可相似对角化，$\Lambda$ 称为 A 的相似标准形。

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