相似矩阵

作者：追风剑情发布于：2025-3-20 13:22 分类：Algorithms

设数列$\{x_n\}，\{y_n\}$满足 $ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x_n&=3x_{n-1} - y_{n-1} \\ y_n&=-x_{n-1} + 3y_{n-1} \end{aligned} \right. \end{equation} $ 其中 $x_0=y_0=1$。我们来求 $x_n，y_n$。将上述公式转化成矩阵形式 $$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A} \begin{pmatrix} x_{n-1} \\ y_{n-1} \\ \end{pmatrix} $$ 其中 $ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \\ \end{pmatrix} $ 。利用此递推公式得 $$ \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A}^n \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{A}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$ 因此，求 $\mathbf{A}^n$ 就是解决问题的关键。如果存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{D}$。并且 $\mathbf{D}^n$ 容易计算，那么 $$ \mathbf{A}^n = (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1})^n = (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}) \cdots (\mathbf{P}\mathbf{D}\mathbf{P}^{-1}) = \mathbf{P}\mathbf{D}^n\mathbf{P}^{-1} $$ 于是 $\mathbf{A}^n$ 就容易计算了。为此我们引出下述概念。

定义 4.1 设 $\mathbf{A}，\mathbf{B}$ 为 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$，则称 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 是相似的，记作 $\mathbf{A} \sim \mathbf{B}$。

从几何角度理解，可以将 P 看作是旋转矩阵，A 经旋转矩阵 P 变换后得到 B。

例 4.1 设矩阵 $ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & a \\ 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix} $ ， $ \mathbf{B}= \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ a & \lambda_1 \\ \end{pmatrix} $ 证明 A 与 B 相似。特别的， $ \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \\ \end{pmatrix} $ 与 $ \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda \\ \end{pmatrix} $ 相似。

证明比较 A，B 可知，A 可以经过初等变换化成 B。 $$ \mathbf{A}= \begin{pmatrix} \lambda_1 & a \\ 0 & \lambda_2 \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 0 & \lambda_2 \\ \lambda_1 & a \\ \end{pmatrix} \xrightarrow{c_1 \leftrightarrow c_2} \begin{pmatrix} \lambda_2 & 0 \\ a & \lambda_1 \\ \end{pmatrix} = \mathbf{B} $$ 记 $ P= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $ ， $ P=P^{-1} $ ，那么 $B=PAP=P^{-1}AP$。故 A 与 B 相似。

容易看到，矩阵的相似关系具有如下性质。

性质 4.1 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵。

（1）反身性：$A \sim A$；
（2）对称性：如果$A \sim B$，那么$B \sim A$;
（3）传递性：如果 $A \sim B$，$B \sim C$，那么$A \sim C$。

可见，矩阵的相似关系是一种等价关系，相似的矩阵还具有如下性质。

性质 4.2 设 A 与 B 相似，f(x) 是一个多项式，那么 f(A) 与 f(B) 相似。

证明设 $f(x)=a_nx^n+ \cdots + a_1x + a_0$，那么 $f(A)=a_nA^n+ \cdots + a_1A+a_0E$。
由于 A 与 B 相似，即存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，于是 $P^{-1}A^sP=B^s$。
故
$$ f(B)=\displaystyle\sum_{s=0}^{n}a_sB^s =\displaystyle\sum_{s=0}^{n}a_s(P^{-1}A^sP) =P^{-1}\displaystyle\sum_{s=0}^{n}a_sA^sP =P^{-1}f(A)P $$ 可见，$f(A) \sim f(B)$。

性质 4.3 相似矩阵的行列式相等。

证明设 $A \sim B$，则存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，从而 A 与 B 等价。因此 r(A)=r(B)。

n 阶矩阵 $A=(a_{ij})_{n \times n}$ 的主对角线上元素之和称为 A 的迹，记为 tr(A)，即 $tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$。

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