矩阵变换的优缺点

作者：追风剑情发布于：2025-3-6 11:04 分类：Algorithms

3D中，描述坐标系中方位的一种方法就是列出这个坐标系的基向量，这些基向量是用其他的坐标系来描述的。用这些基向量构成一个3X3矩阵，然后就能用矩阵形式来描述方位。换句话说，能用一个旋转矩阵来描述这两个坐标系之间的相对方位,这个旋转矩阵用于把一个坐标系中的向量转换到另外一个坐标系中。

我们已经知道怎样用矩阵将点从一个坐标系变换到另一个坐标系。究竟是用哪个变换矩阵来描述角位移呢?是用把向量从惯性坐标系转换到物体坐标系的变换矩阵，还是相反方向转换的矩阵呢?

对于本章内容来说，这个区别并不重要。只要知道方位是用矩阵来描述的，而矩阵表示的是转换后的基向量就足够了。我们通过描述一个坐标系到另一个坐标系的旋转(无论采用哪种变换)来确定一个方位。矩阵变换的具体方向是一个实现细节。因为旋转矩阵是正交的，如果必要的话，只需简单的转置，就可求得逆变换。

矩阵是一种非常直接的描述方位的形式。这种直接性带来了如下优点:

可以立即进行向量的旋转。矩阵形式最重要的性质就是利用矩阵能在物体和惯性坐标系间旋转向量，这是其他描述方法所做不到的。为了旋转向量，必须将方位转换成矩阵形式。(关于四元数优势的一个普遍观点是它能通过四元数乘法来实现旋转，您会发现四元数乘法的效果和对应矩阵乘法的效果是一样的。)
矩阵的形式被图形API所使用。受到了前一节所述原因的影响，图形API使用矩阵来描述方位。(API就是应用程序接口，基本上，它们就是实现您和显卡交流的代码。)当您和图形API交流时，最终必须将用矩阵来描述所需的转换。程序中怎样保存方位由您决定，但如果选择了其他形式，则必须在渲染管道的某处将其转换成矩阵。
多个角位移连接。矩阵形式的第二个优点就是可以“打破”嵌套坐标系间的关系。例如，如果知道A关于B的方位，又知道B关于C的方位，使用矩阵可以求得A关于C的方位。
矩阵的逆。用矩阵形式表达角位移时，逆矩阵就是“反”角位移。因为旋转矩阵是正交的，所以这个计算只是简单的矩阵转置运算。

矩阵的直接性带来了一些优点，前一节已经讨论过了。但是，矩阵用9个数来保存方位，而实际上方位只需要3个数就能够确定了。这些“多余”的数会导致一些问题。

矩阵占用了更多的内存。如果需要保存大量方位，如动画序列中的关键帧，9个数会导致数目可观的额外空间损失。举一个或许不太合适的例子。假设现在做的是一个人的模型动画，该模型被分解为15个块。动画的完成实际是严格地控制子块和父块之间的相对方位。假设每一帧为每一块保存一个方位，动画频率是15Hz，这意味着每秒需要保存225个方位。使用矩阵和32位浮点数，每一帧有8100字节，而使用欧拉角，同样的数据只需2700字节。对于30s的动画数据，矩阵就比欧拉角多占用162K字节。
难于使用。矩阵对人类来说并不直观。有太多的数，并且它们都在-1到1之间。人类考虑方位的直观方法是角度，而矩阵使用的是向量。通过实践，我们能从一个给定的矩阵中得到它所表示的方位。但这仍比欧拉角困难得多，其他方面也不尽如人意。用手算来构造描述任意方位的矩阵几乎是不可能的。总之，矩阵不是人类思考方位的直观方法。
矩阵可能是病态的。矩阵使用9个数，其实只有3个数是必需的。也就是说，矩阵带有六阶冗余。描述方位的矩阵必须满足6个限制条件。行必须是单位向量，而且它们必须互相垂直。

让我们详细讨论最后一条。如果随机取9个数并组成一个3X3阶矩阵，这个矩阵条件不大可能都全部满足那6个限制条件。因此，这9个数不能组成一个有效的旋转矩阵。从另一方面讲，至少对于表达旋转这个目的而言，这个矩阵的结构很不合理，这样的矩阵会出问题，因为它可能导致数值异常或其他非预期行为。

病态矩阵是怎样出现的呢？有多种原因:

矩阵还可能包含缩放、切变或镜像的操作，这些操作会对物体的“方位”产生什么影响呢?确实，对此没有一个清晰的定义。任何非正交的矩阵都不是一个定义良好的旋转矩阵。虽然镜像矩阵也是正交的，但它不是有效的旋转矩阵。
可能从外部数据源获得“坏”数据。例如，使用物理数据获取设备(如动作捕捉器)时，捕获过程中可能产生错误。许多建模包就是因为会产生病态矩阵而变得声名狼藉。
可能因为浮点数的舍入错误产生“坏”数据。例如，对一个方位作大量的加运算，这在允许人们手动控制物体方位的游戏中是很常见的。由于浮点精度的限制，大量的矩阵乘法最终可能导致病态矩阵。这种现象称作“矩阵蠕变”。矩阵正交化能解决矩阵蠕变的问题。