高等数学——微积分基本公式

作者：追风剑情发布于：2021-10-28 20:32 分类：Algorithms

在引进定积分的概念时，曾经讨论过变速直线运动的路程。若质点运动的速度为v(t)，则质点从时刻T1到T2所经过的路程为

另一方面，如果知道质点的运动规律（即位置函数）为 s=s(t) ，则质点从T1到T2所经过的路程为

从而有

由导数定义和 s`(t)=v(t)，即

这就是微积分基本公式。这一公式表明，要求定积分，可以不再从定积分定义出发，而从速度函数（被积函数）v(t)，求路程函数 s(t) (被积函数的原函数)，然后计算 s(T2)-s(T1)

一、变上限定积分

设函数f(x)在区间[a, b]连续，并且x为区间[a, b]上任一点，显然f(x)也在[a, x]上连续，于是积分一定存在，这是一个上限为变量的定积分。因为定积分的值与积分变量无关，为了区别积分上限和积分变量，不妨把积分变量改用其他字母，比如用t来表示，这样，上面的定积分就可以写成.

当x在区间[a, b]上取定，就有一个确定的数值与之对应，所以该积分在区间[a, b]上定义了一个新的函数，称为积分上限的函数，记为Φ(x)，即

在几何上，若f(x)≥0，函数Φ(x)表示右侧竖边可以变动的曲边梯形AaxC的面积(如下图所示),这个面积随着右侧竖边的位置x的改变而改变，当x给定后，这条竖边的位置也就确定了，于是面积Φ(x)也随之确定，因而Φ(x)有时也称为面积函数。

对函数Φ(x)有下面的重要性质：

定理 1 （对积分上限的导数）设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则对[a, b]上任一点x，积分上限的函数的导数存在，且

即对于变上限的定积分，对积分上限的导数等于被积函数在其上限处的值。

由原函数的定义，从定理1知Φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数。因此，有下面的原函数的存在定理：

这个定理肯定了连续函数的原函数一定存在。同时，也初步揭示了定积分与原函数的关系。

二、牛顿(Newton)——莱布尼茨(Leibniz)公式

定理 3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的原函数，则

证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又由定理2知，积分上限的函数

也是f(x)的一个原函数，于是这两个函数之差必定等于某一个常数C₀,即

在上式中，令 x=a，注意到，故得

因此

再令 x=b，代入得

这个公式称为牛顿——莱布尼茨公式，它是微积分学中的基本公式，通常将F(b)-F(a)记为，即

这个公式告诉我们：要计算定积分的数值，只需要求出被积函数f(x)的一个原函数，然后计算这个原函数在积分上限的函数值与积分下限的函数值之差。这样，就把求定积分的问题转化为求被积函数f(x)的原函数的问题了。