高等数学——微积分基本公式

作者:追风剑情 发布于:2021-10-28 20:32 分类:Algorithms

在引进定积分的概念时,曾经讨论过变速直线运动的路程。若质点运动的速度为v(t),则质点从时刻T1到T2所经过的路程为

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另一方面,如果知道质点的运动规律(即位置函数)为 s=s(t) ,则质点从T1到T2所经过的路程为

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从而有

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由导数定义和 s`(t)=v(t),即

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这就是微积分基本公式。这一公式表明,要求定积分5555.png,可以不再从定积分定义出发,而从速度函数(被积函数)v(t),求路程函数 s(t) (被积函数的原函数),然后计算 s(T2)-s(T1)

一、变上限定积分

设函数f(x)在区间[a, b]连续,并且x为区间[a, b]上任一点,显然f(x)也在[a, x]上连续,于是积分11111.png一定存在,这是一个上限为变量的定积分。因为定积分的值与积分变量无关,为了区别积分上限和积分变量,不妨把积分变量改用其他字母,比如用t来表示,这样,上面的定积分就可以写成22222.png.

当x在区间[a, b]上取定,22222.png就有一个确定的数值与之对应,所以该积分在区间[a, b]上定义了一个新的函数,称为积分上限的函数,记为Φ(x),即

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在几何上,若f(x)≥0,函数Φ(x)表示右侧竖边可以变动的曲边梯形AaxC的面积(如下图所示),这个面积随着右侧竖边的位置x的改变而改变,当x给定后,这条竖边的位置也就确定了,于是面积Φ(x)也随之确定,因而Φ(x)有时也称为面积函数。

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对函数Φ(x)有下面的重要性质:

定理 1 (对积分上限的导数)设函数f(x)在区间[a, b]上连续,则对[a, b]上任一点x,积分上限的函数1111.png的导数存在,且
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即对于变上限的定积分,对积分上限的导数等于被积函数在其上限处的值。

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由原函数的定义,从定理1知Φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数。因此,有下面的原函数的存在定理:

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这个定理肯定了连续函数的原函数一定存在。同时,也初步揭示了定积分与原函数的关系。

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二、牛顿(Newton)——莱布尼茨(Leibniz)公式

定理 3  如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的原函数,则

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已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又由定理2知,积分上限的函数
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也是f(x)的一个原函数,于是这两个函数之差必定等于某一个常数C0,即
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在上式中,令 x=a,注意到3333.png,故得
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因此
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再令 x=b,代入得
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这个公式称为牛顿——莱布尼茨公式,它是微积分学中的基本公式,通常将F(b)-F(a)记为77777.png,即
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这个公式告诉我们:要计算定积分2222.png的 数值,只需要求出被积函数f(x)的一个原函数,然后计算这个原函数在积分上限的函数值与积分下限的函数值之差。这样,就把求定积分的问题转化为求被积函数f(x)的原函数的问题了。

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标签: Algorithms

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