这里讨论绕通过原点的任意轴。用单位向量n描述旋转轴，用θ描述旋转量。

让我们导出绕轴n旋转角度θ的矩阵。也就是说，我们想得到满足下面条件的矩阵

vR(n, θ)=v'

v'是向量v绕轴n旋转后的向量。让我们看看能否用v，n和θ表示v'。我们的想法是在垂直于n的平面中解决这个问题，那么这就转换为了一个简单的2D问题。为了做到这一点，将v分解为两个分量：v∥和v⊥，分别平行于n和垂直于n，并有v=v∥+v⊥。因为v∥平行于n，所以绕n旋转不会影响它。故只要计算出v⊥绕n旋转后的v⊥'，就能得到v'=v∥+v⊥'，我们构造向量v∥，v⊥和临时向量w，如图所示。

上图展示了以下向量：

• v∥是v平行于n的分量。另一种说法就是v∥是v在n上的投影，用(v●n)n计算。
• v⊥是v垂直于n的分量。因为v=v∥+v⊥，所以v⊥=v-v∥。v⊥是v投影到垂直于n的平面上的结果。
• w是同时垂直于v∥和v⊥的向量。它的长度和v⊥的相同。w和v⊥同在垂直于n的平面中。w是v⊥绕n旋转90度的结果，由n×v⊥可以得到。

现在，v'垂直于n的分量可以表示为：

代换v⊥和w:

代入v'的表达式，有：

现在，已经得到v'与v，n，θ的关系公式了，可以用它来计算变换后的基向量并构造矩阵。第一个基向量为：

另外两个基向量的推导与之类似，有：

注意：上面我们只使用了列向量，这样做的目的是使等式整洁清晰、易于理解。

用这些基向量构造矩阵，可得公式为：